انباشتک

در نظریه احتمالات و آمار، انباشتک یا κ_n یک توزیع احتمال عبارت است از مجموعه ای از کمیت‌هایی که جایگزینی برای گشتاور توزیع ارائه می‌کند.

انباشتک‌های یک متغیر تصادفی X را می‌توان با استفاده از تابع مولد انباشتک یا K(t) تعریف کرد. این تابع، لگاریتم طبیعی تابع مولد گشتاور است. در رابطهٔ زیر M(t) تابع مولد گشتاور است.

${\displaystyle M(t)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=<e^{tX}>.}$

${\displaystyle M(t)}$ را می‌توان به صورت ${\displaystyle exp[K(t)]}$ نوشت. با گرفتن لگاریتم طبیعی از دو طرف خواهیم داشت:

${\displaystyle K(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{tX}\right].}$

انباشتک‌های κ_n از بسط سری‌های توانی به صورت زیر بدست می‌آید:

${\displaystyle K(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .}$

این بسط، یک بسط تیلور است بنابراین n-امین انباشتک را می‌توان از مشتق n-ام عبارت بالا و برابر قرار دادن با صفر بدست آورد:[1]

${\displaystyle \kappa _{n}=K^{(n)}(0).}$

برخی ویژگی‌ها

ویژگی‌های زیر به ازای هر ثابت c دلخواه برقرار است:

ناوردا

رابطهٔ زیر برقرار است:

• ${\displaystyle \kappa _{1}(X+c)=\kappa _{1}(X)+c~{\text{ and}}}$
• ${\displaystyle \kappa _{n}(X+c)=\kappa _{n}(X)~{\text{ for }}~n\geq 2.}$

همگنی

n امین انباشتک از درجهٔ n همگن است:

${\displaystyle \kappa _{n}(cX)=c^{n}\kappa _{n}(X).}$

جمع پذیری

اگر X و Y متغیرهای تصادفی مستقل باشند آنگاه κ_n(X + Y) = κ_n(X) + κ_n(Y).

انباشتک‌ها و گشتاورها

اگر تابع مولد گشتاور به صورت زیر باشد:

${\displaystyle M(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu '_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right)=\exp(K(t)).}$

بنابراین تابع مولد انباشتک می‌شود لگاریتم تابع مولد گشتاور:

${\displaystyle K(t)=\log M(t).}$

عبارت‌ها چنین نوشته می‌شود:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu '_{1}={}&\kappa _{1}\\[5pt]\mu '_{2}={}&\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}\\[5pt]\mu '_{3}={}&\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}\\[5pt]\mu '_{4}={}&\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}\\[5pt]\mu '_{5}={}&\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}\\[5pt]\mu '_{6}={}&\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}\\&{}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.\end{aligned}}}$

منابع

1. Weisstein, Eric W. "Cumulant". From MathWorld – A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html