ایده‌آل (نظریه حلقه‌ها)

در نظریه حلقه‌ها، که شاخه ای جبر مجرد است، یک ایده‌آل زیرمجموعه خاصی از یک حلقه است. ایده‌آل‌ها برخی از زیرمجموعه اعداد صحیح چون اعداد زوج یا مضارب ۳ را تعمیم می‌دهند. جمع و تفاضل اعداد زوج، و همچنین ضرب یک عدد زوج با هر عدد صحیح دیگر، خاصیت زوج بودن را از بین نمی‌برد و حاصل یک عدد زوج خواهد بود؛ همین خاصیت بسته بودن و جذب، خواصی هستند که یک ایده‌آل را تعریف می‌کنند. یک ایده‌آل را می‌توان برای ساخت حلقه خارج قسمتی به کار گرفت، همچون زیرگروه نرمال در نظریه گروه‌ها که از آن برای ساخت گروه خارج قسمتی استفاده می‌شود.

در مورد اعداد صحیح، ایده‌آل‌های اعداد صحیح در تناظر یک به یک با اعداد صحیح نامنفی قرار دارند، در این حلقه هر ایده‌آل، یک ایده‌آل اصلی شامل ضرایب یک عدد نامنفی است. به عنوان مثال، ایده‌آل‌های اول یک حلقه مشابه اعداد اول بوده و قضیه باقیمانده چینی را می‌توان به ایده‌آل‌ها تعمیم داد. نسخه ای از تجزیه یکتا به اعداد اول برای ایده‌آل‌های دامنه ددکیند (نوعی حلقه مهم در نظریه اعداد) هم وجود دارد.

مفهوم ایده‌آل ترتیب در نظریه ترتیب از مفهوم ایده‌آل‌ها در نظریه حلقه‌ها نشأت گرفته‌است. ایده‌آل کسری تعمیم یک ایده‌آل است، و ایده‌آل‌های معمولی دیگر (به غیر از ایده‌آل‌های کسری) را برای ابهام‌زدایی ایده‌آل‌های صحیح گویند.

تاریخچه

ایده‌آل‌ها اولین بار توسط ریچارد ددکیند در ۱۸۷۶ میلادی در ویرایش سوم کتابش با عنوان Vorlesungen über Zahlentheorie (رساله هایی در مورد نظریه اعداد) ارائه شدند. آن‌ها تعمیم مفهوم اعداد ایده‌آل بودند که توسط ارنست کومر توسعه یافته بودند.[1][2] سپس این مفهوم توسط دیوید هیلبرت و بخصوص امی نوتر گسترش یافتند.

تعاریف و انگیزه‌ها

برای یک حلقه دلخواه چون ${\displaystyle (R,+,.)}$، ${\displaystyle (R,+,.)}$ را مجگروه جمعی آن در نظر بگیرید. زیرمجموعه ای چون ${\displaystyle I}$ را ایده‌آل چپ حلقه ${\displaystyle R}$ گویند اگر زیرمجموعه‌ای جمعی از ${\displaystyle R}$ باشد که "ضرب عناصر ${\displaystyle R}$ را از سمت چپ جذب کند"، یعنی ${\displaystyle I}$ یک ایده‌آل چپ است اگر دو شرط زیر را ارضاء کند:

1. ${\displaystyle (I,+)}$ یک زیرگروه از ${\displaystyle (R,+)}$ باشد،
2. برای هر ${\displaystyle r\in R}$ و هر ${\displaystyle x\in I}$، ضرب ${\displaystyle rx}$ در ${\displaystyle I}$ باشد.

یک ایده‌آل راست با جایگزینی شرط "${\displaystyle rx\in I}$" با "${\displaystyle xr\in I}$" تعریف می شود. یک ایده‌آل دوسویه ایده‌آل چپی است که هم‌زمان یک ایده‌آل راست هم باشد. برخی مواقع به ایده‌آل دو سویه صرفاً "ایده‌آل" گویند.

یادداشت‌ها

1. Harold M. Edwards (1977). Fermat's last theorem. A genetic introduction to algebraic number theory. p. 76.
2. Everest G., Ward T. (2005). An introduction to number theory. p. 83.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Ideal (Ring Theory)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۷ آگوست ۲۰۱۹.

منابع

• Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G., Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, شابک ‎۰−۲۰۱−۰۰۳۶۱−۹
• Lang, Serge (2005). Undergraduate Algebra (Third ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-22025-3
• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. شابک ‎۱−۴۰۲۰−۲۶۹۰−۰
• Milnor, John Willard (1971), Introduction to algebraic K-theory, Annals of Mathematics Studies, 72, Princeton, NJ: Princeton University Press, MR 0349811, Zbl 0237.18005