برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی

برهان معروفی که نشان می‌دهد عدد گویای ۲۲/۷ بزرگتر از عدد پی به دوران باستان بر می‌گردد. یکی از این برهان‌ها که از طریق حساب دیفرانسیل به دست می‌آید به تازگی به خاطر زیبایی ریاضی و ارتباطش با نظریه تقریب دیوفانته مورد توجه قرار گرفته‌است. استیون لوکاس این برهان را «یکی از زیباترین نتایج مرتبط با تقریب عدد پی» می‌نامد.[1]

بخشی از سری مقالات در مورد:
ثابت ریاضی ${\displaystyle \pi }$
کاربردها
مساحت دایره محیط منحنی کاربرد در فرمول‌های دیگر
خواص
گنگ بودن متعالی بودن
مقدار
برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی تخمین‌ها
افراد
ارشمیدس لیو هوی تسو چونگچی آریابهاتا ماذاوا لودولف فان کویلن سکی تاکاکازو تاکبه کنکو ویلیام جونز (ریاضی‌دان) جان میچین ویلیام شنکس سرینیواسا رامانوجان جان رنچ برادران چادنوسکی یاسوماسا کانادا
تاریخچه
گاهشماری کتاب
در فرهنگ
قانون‌گذاری روز پی
موضوعات مرتبط
تربیع داریه مسئله بازل شش 9 در ${\displaystyle \pi }$ موضوعات دیگر مربوط با ${\displaystyle \pi }$

هدف اصلی این برهان اثبات اینکه ۲۲/۷ بزرگتر از عدد پی است، نیست. ۲۲/۷ (یا ۳^۱⁄_۷) قطعاً بزرگتر از ${\displaystyle \pi }$ است.

پس‌زمینه

۲۲/۷ در تقریب دیوفانته تقریباً برابر با عدد پی در نظر گرفته می‌شود. مقادیر این دو عدد به صورت زیر هستند.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3.{\overline {142\,857}},\\\pi \,&=3.141\,592\,65\ldots \end{aligned}}}$

در سده سوم پیش از میلاد ارشمیدس نگاشته‌بود که ۲۲/۷ یک تقریب بزرگتر از عدد پی است. اثبات وی بر مبانی اندازه‌گیری نسبت محیط دایره محیطی یک ۹۶ ضلعی منتظم استوار بود.

اثبات

برهان به صورت زیر قابل خلاصه شدن است.

${\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}(1-x)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi .}$

بنابرین, ۲۲/۷ > ${\displaystyle \pi }$.

محسابه این انتگرال اولین بار در مسابقه ریاضی ویلیام لاول پاتنام سال ۱۹۶۸ مطرح گردید.[2]

پانویس

1. Lucas, Stephen (2005), "[[عدد پی|${\displaystyle \pi }$]]" (PDF), Australian Mathematical Society Gazette, 32 (4): 263–266, MR 2176249, Zbl 1181.11077 URL–wikilink conflict (help)
2. Alexanderson, Gerald L.; Klosinski, Leonard F.; Larson, Loren C. (editors) (1985), The William Lowell Putnam Mathematical Competition: Problems and Solutions: 1965–1984, Washington, D.C.: The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-463-5, Zbl 0584.00003

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Proof that 22/7 exceeds π». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.