تابع هارمونیک

تابع هارمونیک یا تابع هماهنگ[1] در ریاضی، فیزیک ریاضی و نظریهٔ فرایندهای تصادفی به توابع حقیقی گفته می‌شود که دارای مشتقات جزئی مرتبه دوم پیوسته بوده و در معادلهٔ لاپلاس صدق کنند. به عبارت دیگر:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0}$

که می‌توان آن را به‌صورت

${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$

یا

${\displaystyle \textstyle \Delta f=0}$

نشان داد.

همساز-بودگی ضعیف

قصد داریم مفهوم همسازی تابع را به رده‌ای موسّع‌تر از توابع دو مرتبه مشتق-پذیر گسترش دهیم. از ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$ نتیجه می‌گیریم که به ازای هر تابع هموار فشرده-محمل، برای مثال ${\displaystyle g}$، داریم ${\displaystyle g\nabla ^{2}f=0}$. در نتیجه، با انتگرال‌گیری جزء به جزء، در این حالت قضیّه گاوس-گرین-استروگرودسکیی، و از آن‌جا که جملات ِ مرزی به سبب ِ فشرده-محمل بودن ِ ${\displaystyle g}$ صفر خواهند بود، خواهیم داشت:

${\displaystyle \int g\nabla ^{2}f=-\int \nabla g\nabla f=0}$

در این تعریف کفایت می‌کند که تابع ${\displaystyle g}$ یک مرتبه مشتق‌پذیر ضعیف با مشتق در فضای ${\displaystyle L^{2}}$ باشد، به بیان فنّی‌تر، در فضای سُبُلف ${\displaystyle H^{1}}$. هر تابع با چنین شرایطی ضعیفاً همساز نامیده می‌شود.

منابع

1. «An Etymological Dictionary of Astronomy and Astrophysics - 1». dictionary.obspm.fr. دریافت‌شده در ۲۰۲۰-۰۷-۳۰.

• K.A. Stroud, Dexter J. Booth, Advanced Engineering Mathematics, 4th ed. Plagrave Macmillan, New York, 2003. ISBN 1-4039-0312-3
• Landis, Second Order Equations of Elliptic and Parabolic Type.