تابع وارون هذلولوی

وارون تابع‌های هذلولوی را تابع وارون هذلولوی یا تابع وارون هیپربولیک می‌گویند. که برابر انگلیسی آن area hyperbolic functions به معنی تابع سطح هذلولوی است. همان گونه که تابع‌های وارون مثلثاتی طول خم بر روی یک دایرهٔ یکه (دایره‌ای به شعاع ۱) x^۲ + y^۲ = ۱ را بدست می‌آورند، توابع وارون هذلولوی نیز، سطح ناحیهٔ محدود به یک قطاع هذلولی یکه یا x^۲ - y^۲ = ۱ را بدست می‌آورند به همین دلیل نام دیگر این تابع‌ها «تابع سطح هذلولوی» است.

تابع artanh.

برای نشان دادن این نوع تابع‌ها به طور خلاصه از نام‌هایی مانند arcsinh و arccosh استفاده می‌کنند در حالی که این نام‌ها کاملاً بی‌ربطند و نادرست استفاده می‌شوند؛ چون عبارت arc خلاصه شدهٔ نام arcus است در حالی که خلاصه شدهٔ واژهٔ area به معنی سطح، ar می‌باشد..[1][2][3] در علوم رایانه برای کوتاه کردن نام تابع‌های وارون هذلولی آن‌ها را با نام‌هایی مانند asinh نمایش می‌دهند. همچنین از مفهوم‌هایی مانند ${\displaystyle \operatorname {sinh} ^{-1}(x)}$ و ${\displaystyle \operatorname {cosh} ^{-1}(x)}$ نیز استفاده می‌شود، البته باید توجه داشت که ۱- به معنی وارون تابع است و نه توان آن. در نتیجه دو نمایش ${\displaystyle \operatorname {cosh} ^{-1}(x)}$ و ${\displaystyle \operatorname {cosh} (x)^{-1}}$ دو مفهوم کاملاً متفاوت را می‌رسانند.

مقدار وارون تابع‌های هذلولوی را زاویه‌های هذلولوی یا زاویه‌های هیپربولیک می‌نامند.

بیان لگاریتمی

بیان لگاریتمی این نوع تابع‌ها در صفحهٔ مختلط عبارت است از:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} \,z&=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,),\\[2.5ex]\operatorname {arcosh} \,z&=\ln(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,),\\[1.5ex]\operatorname {artanh} \,z&={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {1+z}{1-z}},\\\operatorname {arcoth} \,z&={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {z+1}{z-1}}.\\\operatorname {arcsch} \,z&=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right),\\\operatorname {arsech} \,z&=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\,\right).\end{aligned}}}$

رادیکال‌ها در بالا نشانهٔ ریشهٔ دوم اند و تابع لگاریتم، لگاریتم مختلط است. در بازهٔ اعداد حقیقی مانند z = x که مقدارهای حقیقی باز می‌گرداند، می‌توان از برخی ساده‌سازی‌ها مانند ${\displaystyle {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1}}}$ استفاده کرد که البته استفاده از این ساده‌سازی در حالت کلی درست نیست.

تابع‌های وارون هذلولوی در صفحهٔ مختلط

${\displaystyle \operatorname {arsinh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {arcosh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {artanh} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {arcoth} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {arsech} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {arcsch} (z)}$

گسترش سری‌ها

برخی سری‌های گسترش یافته را می‌توان برابر با تابع‌های زیر دانست:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} \,x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$

گسترش سری نامتناهی arsinh x که در بی‌نهایت همگرا می‌شود، عبارت است از:

${\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x=\ln 2x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}$

مشتق‌ها

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {-1}{x(x+1)\,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}\\\end{aligned}}}$

برای xهای حقیقی نیز داریم:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1+x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0\end{aligned}}}$

برای نمونه: فرض کنید θ = arsinh x باشد، آنگاه مشتق آن عبارت است از:

${\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsinh} \,x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$

ترکیب تابع‌های هذلولوی و وارون هذلولوی

ترکیب تابع‌های هذلولوی و وارون هذلولوی یا هیپربولیک و وارون هیپربولیک، به ترتیب زیر خواهد بود:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sinh} (\operatorname {arcosh} \,x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\operatorname {\sinh } (\operatorname {artanh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\operatorname {\cosh } (\operatorname {arsinh} \,x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\operatorname {\cosh } (\operatorname {artanh} \,x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\operatorname {\tanh } (\operatorname {arsinh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\operatorname {\tanh } (\operatorname {arcosh} \,x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}$

چند رابطهٔ دیگر

دیگر رابطه‌های مفید مربوط به این بحث عبارتند از:

${\displaystyle \operatorname {arsinh} \;u\pm \operatorname {arsinh} \;v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} \;u\pm \operatorname {arcosh} \;v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} \;u\pm \operatorname {artanh} \;v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} \;u+\operatorname {arcosh} \;v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}$

یادداشت و منبع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Inverse hyperbolic function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۶ سپتامبر ۲۰۱۱.

1. As stated by Jan Gullberg, Mathematics: From the Birth of Numbers (New York: W. W. Norton & Company, ۱۹۹۷), ISBN 039304002X, p. ۵۳۹:

   Another form of notation, arcsinh x, arccosh x, etc., is a practice to be condemned as these functions have nothing whatever to do with arc, but with area, as is demonstrated by their full Latin names,

   arsinh     area sinus hyperbolicus
   arcosh     area cosinus hyperbolicus, etc.

2. As stated by Eberhard Zeidler, Wolfgang Hackbusch and Hans Rudolf Schwarz, translated by Bruce Hunt, Oxford Users' Guide to Mathematics (Oxford: انتشارات دانشگاه آکسفورد, ۲۰۰۴), ISBN 0198507631, Section ۰٫۲.۱۳: «The inverse hyperbolic functions», p. ۶۸: «The Latin names for the inverse hyperbolic functions are area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicus and area cotangens hyperbolicus (of x). ...» This aforesaid reference uses the notations arsinh, arcosh, artanh, and arcoth for the respective inverse hyperbolic functions.
3. As stated by Ilja N. Bronshtein, Konstantin A. Semendyayev, Gerhard Musiol and Heiner Muehlig, Handbook of Mathematics (Berlin: Springer-Verlag, ۵th ed., ۲۰۰۷), ISBN 3540721215, doi:۱۰٫۱۰۰۷/۹۷۸-۳-۵۴۰-۷۲۱۲۲-۲, Section ۲٫۱۰: «Area Functions», p. ۹۱:

   The area functions are the inverse functions of the hyperbolic functions, i.e., the inverse hyperbolic functions. The functions sinh x, tanh x, and coth x are strictly monotone, so they have unique inverses without any restriction; the function cosh x has two monotonic intervals so we can consider two inverse functions. The name area refers to the fact that the geometric definition of the functions is the area of certain hyperbolic sectors ...

جستارهای وابسته

• فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی

پیوند به بیرون

• تابع‌های وارون هذلولوی در دانشنامهٔ MathWorld
• تابع‌های وارون هذلولوی در بخش ریاضی یکی از کالج‌های لندن.