خطای جذر میانگین مربعات

خطای جذر میانگین مربعات یا انحراف جذر میانگین مربعات یا خطای جذر میانگین مربع‌ها (root-mean-square deviation (RMSD)) یا (root-mean-square error (RMSE)) تفاوت میان مقدار پیش‌بینی شده توسط مدل یا برآوردگر آماری و مقدار واقعی می‌باشد. RMSD یک ابزار خوبی است برای مقایسه خطاهای پیش‌بینی توسط یک مجموعه داده‌است و برای مقایسه چند مجموعه داده کاربرد ندارد.[1]

همچنین این تفاوت‌های مجزا را مانده ها می‌نامند و خطای جذر میانگین مربعات برای جمع‌آوری آنها در یک عدد کاربر دارد.

معادله

در خطای جذر میانگین مربعات یک برآوردگر آماری ${\displaystyle {\hat {\theta }}}$ با توجه به پارامتر پیش‌بینی‌شدهٔ ${\displaystyle \theta }$ به عنوان مجذور مربع ریشهٔ خطای میانگین مربعات تعریف می‌شود:

${\displaystyle \operatorname {RMSD} ({\hat {\theta }})={\sqrt {\operatorname {MSE} ({\hat {\theta }})}}={\sqrt {\operatorname {E} (({\hat {\theta }}-\theta )^{2})}}.}$

برای برآوردگر بی‌طرف RMSD مربعات ریشهٔ واریانس است و به عنوان خطای استاندارد شناخته می‌شود.

در بعضی از مباحث RMSD برای مقایسه بین دو چیز قابل تغییر به کار می‌رود که هیچکدام به عنوان استاندارد شناخته نمی‌شوند. به عنوان مثال:

برای اندازه‌گیری فاصلهٔ دو جسم دراز که به صورت بردار اتفاقی توصیف می‌شوند:

${\displaystyle \mathbf {\theta } _{1}={\begin{bmatrix}x_{1,1}\\x_{1,2}\\\vdots \\x_{1,n}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {and} \qquad \mathbf {\theta } _{2}={\begin{bmatrix}x_{2,1}\\x_{2,2}\\\vdots \\x_{2,n}\end{bmatrix}}.}$

معادله به شرح زیر است:

${\displaystyle \operatorname {RMSD} (\mathbf {\theta } _{1},\mathbf {\theta } _{2})={\sqrt {\operatorname {MSE} (\mathbf {\theta } _{1},\mathbf {\theta } _{2})}}={\sqrt {\operatorname {E} ((\mathbf {\theta } _{1}-\mathbf {\theta } _{2})^{2})}}={\sqrt {\frac {\sum _{i=1}^{n}(x_{1,i}-x_{2,i})^{2}}{n}}}.}$

نرمال‌سازی انحراف جذر میانگین مربعات

نرمال‌سازی انحراف جذر میانگین مربعات (normalized root-mean-square deviation) یا خطا (NRMSD یا NRMSE) توسط بازهٔ مقادیر مشاهده شده به شرح زیر است

${\displaystyle \mathrm {NRMSD} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{x_{\max }-x_{\min }}}}$

زمانی که مقدار کمینه نشان‌دهندهٔ واریانس رسوبی کمتری باشد معمولاً مقدار به صورت درصدی بیان می‌گردد.

ضریب تغییرات انحراف جذر میانگین مربعات

ضریب تغییرات انحراف جذر میانگین مربعات coefficient of variation of the RMSD, CV(RMSD) یا CV(RMSE) به عنوان RMSD نرمال شده به کار می‌رود:

${\displaystyle \mathrm {CV(RMSD)} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{\bar {x}}}.}$

این شبیه ضریب تغییرات است با این تفاوت که RMSD به جای انحراف معیار استفاده شده‌است.

پانویس

1. Hyndman, Rob J. Koehler, Anne B. (۲۰۰۶). «Another look at measures of forecast accuracy». International Journal of Forecasting: ۶۷۹–۶۸۸.

جستارهای وابسته

• جذر متوسط مربع
• Squared deviations
• Errors and residuals in statistics

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «خطای جذر میانگین مربعات». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۱ آبان ۱۳۹۱.