علامت Q پوکهمر

در ریاضیات و در شاخه ترکیبیات، علامت q_پوکهَمِر، که به آن q_فاکتوریل جابجا شده نیز می‌گویند، اینگونه تعریف می‌شود:

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1})}$

و

${\displaystyle (a;q)_{0}=1}$

علامت q_پوکهمر، یک بلوک اصلی در ساخت q_آنالوگ هاست. برای مثال در نظریه سری‌های ابرهندسی، نقش اصلی را در نظریه تعمیم یافته آن دارد. بر خلاف علامت پوکهمر ساده، علامت q_پوکهمر قابل تعمیم است به یک ضرب نامتناهی:

${\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).}$

این یک تابع تحلیلی از q در فضای داخلی یک دیسک واحد (در صفحه مختلط) است و می‌تواند به عنوان یک سری توانی ساده در نظر گرفته شود. حالت خاص زیر:

${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$

به عنوان تابع اویلر شناخته شده و در شاخه‌های نظریه اعداد و ترکیبیات و همچنین در نظریهٔ فرم‌های مدولار کاربرد دارد.

قضیه‌ها

حاصل ضرب متناهی می‌تواند به صورت حاصل ضرب نامتناهی بیان شود:

${\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},}$

که تعریف را به اعداد منفی n گسترش می دهد،بنابراین برای اعداد نامنفی n داریم:

${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}}$

و

${\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.}$

از سوی دیگر داریم:

${\displaystyle \prod _{k=n}^{\infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{\infty }={\frac {(a;q)_{\infty }}{(a;q)_{n}}},}$

که برای تابع مولد توابع افرازی مفید است.علامت q_پوکهمر،بخشی از q_سری هاست.به خصوص گسترش سری بی نهایته:

${\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}}$

و

${\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}}}$

که هر دو حالت خاصی از q_بسط دو جمله ای:

${\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.}$

فردریک کارپِلِویچ اتحاد زیر را به دست آورد:

${\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{n})}},\ |z|<1.}$

منابع

• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. شابک ‎۰−۵۲۱−۸۳۳۵۷−۴ .
• Roelof Koekoek and Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, section 0.2.
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, شابک ‎۰۸۵۳۱۲۴۹۱۴, شابک ‎۰۴۷۰۲۷۴۵۳۰, شابک ‎۹۷۸−۰۴۷۰۲۷۴۵۳۸
• M.A. Olshanetsky and V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.
• Ramanujan's Lost Notebook: Part I (Pt. 1) ,(2005) Bruce C. Berndt and George E. Andrews,شابک ‎۹۷۸−۰۳۸۷۲۵۵۲۹۳ ,

شابک ‎۰۳۸۷۲۵۵۲۹X Ramanujan's Lost Notebook: Part II (Pt. 2) ,(2009) Bruce C. Berndt and George E. Andrews,شابک ‎۹۷۸−۰۳۸۷۷۷۷۶۵۸ , شابک ‎۰۳۸۷۷۷۷۶۵۲ G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 2008,شابک ‎۹۷۸−۰۱۹۹۲۱۹۸۶۵ ,شابک ‎۹۷۸۰۱۹۹۲۱۹۸۶۵.