قضیه آرتین-ریس

قضیه آرتین-ریس یا لم آرتین-ریس قضیه ای است در جبر جابجایی که افزون بر آن کاربردهایی در هندسه جبری نیز دارد. این قضیه به افتخار امیل آرتین و دیوید ریس نامگذاری شده است.

صورت قضیه

فرض کنید ${\displaystyle I}$ یک ایده‌آل حلقه جابجایی نوتری ${\displaystyle R}$ باشد. همچنین فرض کنید ${\displaystyle M}$ یک مدول متناهی مولد روی ${\displaystyle R}$ و ${\displaystyle N\subseteq M}$ یک زیرمدول باشد. آنگاه یک عدد طبیعی ${\displaystyle k}$ موجود است که برای هر ${\displaystyle i\geq k}$ داریم: ${\displaystyle I^{i}M\cap N=I^{i-k}(I^{k}M\cap N)}$.

کاربرد

اگر ${\displaystyle M}$ مدول دلخواه روی حلقه جابجایی دلخواه ${\displaystyle R}$ باشد آنگاه

${\displaystyle IM\supset I^{2}M\supset I^{3}M\supset \ldots }$

یک پایه برای توپولوژی نزدیک ${\displaystyle 0}$ و در نتیجه یک پایه برای توپولوژی روی ${\displaystyle M}$ تعریف میکند. این توپولوژی به توپولوژی ${\displaystyle I}$-ادیک نامبردار است. در این توپولوژی، یک زیرمجموعه ${\displaystyle U\subset M}$ باز است اگر و تنها اگر برای هر ${\displaystyle x\in U}$ یک ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ وجود داشته باشد به گونه ای که ${\displaystyle x+I^{i}M\subseteq U}$.

بدینسان ${\displaystyle N}$ به عنوان زیر مجموعه ${\displaystyle M}$ به صورت طبیعی دارای یک توپولوژی القا شده به وسیله توپولوژی ${\displaystyle I}$-ادیک ${\displaystyle M}$ می باشد. ولی ${\displaystyle N}$ به عنوان یک مدول روی ${\displaystyle R}$ خود دارای یک توپولوژی ${\displaystyle I}$-ادیک است (درست همانگونه که این توپولوژی برای ${\displaystyle M}$ تعریف شد). قضیه آرتین-ریس میگوید که اگر حلقه ${\displaystyle R}$ نوتری و مدول ${\displaystyle M}$ متناهی مولد باشد این دو توپولوژی روی ${\displaystyle N}$ با هم هم ارز و یکسان هستند.

منابع

• Siegfried Bosch: Algebraic Geometry and Commutative Algebra, Springer-Verlag 2012
• David Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Springer-Verlag, 1995