قضیه اصلی رامانوجان

در ریاضیات، قضیه اصلی رامانوجان (به نام سرینیواسا رامانوجان) تکنیکی است که یک عبارت تحلیلی برای تبدیل ملین توابع تحلیلی ارائه می‌کند.

صفحه ای از دفترچه یادداشت رامانوجان که در آن قضیه اصلی خود را بیان کرده‌است.

نتیجه قضیه به شرح زیر است:

اگر تابع فرم زیر داشته باشد،

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\phi (k)}{k!}}(-x)^{k}\!}$

آنگاه تبدیل ملین تابع داده شده‌است،

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx=\Gamma (s)\phi (-s)\!}$

که در آن ${\displaystyle \Gamma (s)\!}$ تابع گاما است.

این قضیه توسط رامانوجان برای محاسبه انتگرال معین و سری‌های نامتناهی استفاده می‌شد.

نسخه‌هایی از این قضیه در ابعاد بالاتر در فیزیک کوانتومی (از طریق نمودارهای فاینمن) استفاده شده‌است.[1]

نتیجه مشابه ای نیز توسط جیمز ویتبرد لی گلیشر به دست آمده‌است.[2]

منابع

1. González, Iván; Moll, V. H.; Schmidt, Iván. "A generalized Ramanujan Master Theorem applied to the evaluation of Feynman diagrams".
2. Glaisher, J. W. L. (1874). "A new formula in definite integrals". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. 48 (315): 53–55.