قضیه مقدار میانگین برای انتگرال‌ها

بنابراین قضیه اگر تابع f بر بازهٔ [a,b] پیوسته باشد آنگاه حداقل یک مقدار مانند c متعلق به بازه ی بسته ی [a,b]وجود دارد که : ${\displaystyle f(c)=(1/(b-a))\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

اثبات

با توجه به فرض قضیه، چون تابع f بر بازه [a,b] پیوسته است، مقدار مینیمم و ماکسیمم مطلق خود را (بر طبق قضیه اکسترمم) در این فاصله می‌گیرد، یعنی به ازای هر x در بازه [a,b] : ${\displaystyle m\leq \ f(x)\leq \ M\Rightarrow \int _{a}^{b}m\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}M\,dx}$ ${\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \ M(b-a)\Rightarrow \ m\leq \ (1/(b-a))\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \ M}$ حال اگر تابع f در این فاصله صعودی (نزولی) باشد آنگاه ${\displaystyle x_{0}}$ و ${\displaystyle x_{1}}$ در بازه ${\displaystyle [a\leq \ x_{0}\leq \ x_{1}\leq \ b]}$ وجود دارد که به ازای آنها مقادیر تابع به ترتیب مینیمم و ماکسیمم (ماکسیمم و مینیمم) می‌شود. یعنی: ${\displaystyle (1/(b-a)\int _{a}^{b}f(x)\,dx-f(x_{0}))(1/(b-a)\int _{a}^{b}f(x)\,dx-f(x_{1}))<\ 0}$ که بر طبق قضیه بولتزانو وجود دارد حداقل یک مقدار مانند c در بازهٔ ${\displaystyle [x_{0},x_{1}]}$ که: ${\displaystyle f(c)=(1/(b-a))\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

منابع

• حساب دیفرانسیل و انتگرال ( جلد دوم )، نوشته مسعود نیکوکار و بهمن عرب زاده، انتشارات آزاده ، 1384