مثلث بزیه

مثلث بزیر نوع خاصی از منحنی بزیر است که از درونیابی (خطی، درجه دو، مکعبی یا درجات بالاتر) نقاط کنترلی بدست می‌آید.

مثلث مکعبی بزیر

نمونه مثل بزیر با نقاط کنترلی مشخص شده

یک مثلث بزیر مکعبی سطحی با معادله زیر است:

${\displaystyle {\begin{aligned}p(s,t,u)=(\alpha s+\beta t+\gamma u)^{3}=&\beta ^{3}\ t^{3}+3\ \alpha \beta ^{2}\ st^{2}+3\ \beta ^{2}\gamma \ t^{2}u+\\&3\ \alpha ^{2}\beta \ s^{2}t+6\ \alpha \beta \gamma \ stu+3\ \beta \gamma ^{2}\ tu^{2}+\\&\alpha ^{3}\ s^{3}+3\ \alpha ^{2}\gamma \ s^{2}u+3\ \alpha \gamma ^{2}\ su^{2}+\gamma ^{3}\ u^{3}\end{aligned}}}$

که در آن α³، β³، γ³، α²β، αβ²، β²γ، βγ²، αγ²، α²γ و αβγ نقاط کنترلی مثلث و s، t، u (با 0 ≤ s، t، u ≤ 1 و s+t+u=1) مراکز جرم داخل مثلث هستند.[1]

نصف کردن مثلث بزیر مکعبی

مزیت مثلث بزیر در گرافیک کامپیوتری تقریب راحت آنها توسط مثلث‌های منظم است.

عبارت زیر نقاط کنترلی جدید را برای نصف مثلث بزیر کامل با گوشه α³، یک گشوه در میان منحنی بزیر α³ و β³ و گوشه سوم در γ³ است.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}'\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}'\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}'\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}'\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}'\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}'\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}'\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}'\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}'\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 8}&{3 \over 8}&{3 \over 8}&{1 \over 8}&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}\end{pmatrix}}}$

به طور برابر تنها با استفاده از جمع و تقسیم به دو

β^3 := (αβ^2 + β^3)/2     αβ^2 := (α^2β + αβ^2)/2   β^3 := (αβ^2 + β^3)/2 α^2β := (α^3 + α^2β)/2   αβ^2 := (α^2β + αβ^2)/2   β^3 := (αβ^2 + β^3)/2

β^2γ := (αβγ + β^2γ)/2 αβγ := (α^2γ + αβγ)/2   β^2γ:=(αβγ+β^2γ)/2

βγ^2 := (αγ^2 + βγ^2)/2

منابع

1. مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Bézier triangle». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۷ نوامبر ۲۰۱۲.