مجموعه کراندار

مجموعه کراندار یا مجموعه محدود مفهومی است که در آنالیز ریاضی و دیگر مباحث مرتبط با آن تعریف می‌شود. مجموعه‌ای که کراندار نباشد را بی‌کران می‌نامیم. در توپولوژی، مجموعه کراندار فقط در فضاهای توپولوژیک متری معنا می‌یابد.

تجسمی از یک مجموعه کراندار (بالا) و یک مجموعه بی‌کران (پایین) که از سمت راست تا بی‌نهایت ادامه دارد.

تعریف

در اعداد حقیقی

فرض کنید ${\displaystyle A}$ یک زیرمجموعهٔ ناتهی از ${\displaystyle \mathbb {R} }$ باشد. گوییم ${\displaystyle A}$ از بالا کراندار است اگر عددی مانند ${\displaystyle a}$ موجود باشد به طوری که به ازای هر ${\displaystyle x}$ از ${\displaystyle A}$ داشته باشیم ${\displaystyle x\leq a}$. اگر عددی مانند ${\displaystyle b}$ موجود باشد به طوری که به ازای هر ${\displaystyle y}$ از ${\displaystyle A}$ داشته باشیم ${\displaystyle b\leq y}$، آنگاه می‌گوییم ${\displaystyle A}$ از پایین کراندار است. مجموعهٔ ${\displaystyle A}$ را کراندار می‌نامیم در صورتی که ${\displaystyle A}$ از بالا و از پایین کراندار باشد.[1]

همچنین هر زیر مجموعه از اعداد حقیقی کراندار است اگر و تنها اگر مشمول در یک بازه در ${\displaystyle \mathbb {R} }$ باشد.

در فضاهای متریک

فرض کنیم ${\displaystyle (X,d)}$ یک فضای متریک و ${\displaystyle E\subseteq X}$ باشد. در اینصورت گوییم ${\displaystyle E}$ کراندار است هرگاه عددی حقیقی چون ${\displaystyle M}$ و نقطه‌ای مثل ${\displaystyle q\in X}$ وجود داشته باشند به‌طوری که به ازای هر ${\displaystyle p\in E}$ داشته باشیم ${\displaystyle d(p,q)<M}$. [2]

در فضای متری دلخواه ${\displaystyle (M,d)}$، زیرمجموعهٔ ${\displaystyle A}$ از ${\displaystyle M}$ فقط و فقط وقتی کراندار است که گوی بازی شامل ${\displaystyle A}$ موجود باشد.[3]

پانویس

1. مدقالچی، «دستگاه اعداد حقیقی»، آنالیز ریاضی ۱، ۲۴.
2. رودین، «دستگاه اعداد حقیقی»، اصول آنالیز ریاضی، ۴۰.
3. مدقالچی، «فضاهای متریک»، آنالیز ریاضی ۱، ۱۲۰.

منابع

• مدقالچی، علیرضا (۱۳۸۸). آنالیز ریاضی ۱. تهران: دانشگاه پیام نور. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۴۵۵-۹۲۳-۵.
• رودین، والتر (۱۳۸۵). اصول آنالیز ریاضی. ترجمهٔ دکتر علی‌اکبر عالم‌زاده. تهران: انتشارات علمی و فنی. شابک ۹۶۴-۶۲۱۵-۰۰-۹.