معادلات فرینل

معادلات فرِینل رفتار نور را هنگام گذر از محیطی به محیطی دیگر با ضریب شکستی مختلف توضیح می‌دهد. این معادلات اولین بار توسط اگوستن-ژان فرینل بیان شدند.

دامنه انتقال و بازتاب جزئی یک موج رونده از محیطی با ضریب شکست پایین به محیطی با ضریب شکست بالا

شرح

نور در هنگام عبور از محیطی با ضریب شکست n₁ به محیطی با ضریب شکست n₂ دچار بازتاب و شکست می‌شود. معادلات فرینل نسبت میزان نور بازتاب شده در محیط اول و عبورکننده به محیط دوم را نسبت به نور تابیده‌شده و نیز اختلاف فاز وارده شده به نور بازتاب و منتشر شده را بیان می‌کنند. این مقادیر در حالت کلی به قطبش موج بستگی دارد. معادلات فرینل بر اساس فرض تخت بودن موج تابیده‌شده به سطح و همگن و صاف بودن این سطح به دست می‌آیند. دو نوع قطبش «موازی» (p) و «عمود» (s) برای نور برخوردکننده به سطح قابل تصور است.

قطبش s

میدان الکتریکی موج تابشی، بر صفحه‌ی برخورد (صفحه‌ی دربرگیرنده پرتو تابشی و بردار عمود بر سطح) عمود است.

فطبش p

میدان الکتریکی موج تابشی در صفحه‌ی برخورد قرار دارد.

روابط فرینل برای توان موج

پارامترهای استفاده شده در معادلات

نسبت توان بازتاب‌شده برای قطبش‌های s و p چنین به دست می‌آیند:

${\displaystyle R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {{\sqrt {\frac {\mu _{2}}{\epsilon _{2}}}}\cos \theta _{\mathrm {i} }-{\sqrt {\frac {\mu _{1}}{\epsilon _{1}}}}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{{\sqrt {\frac {\mu _{2}}{\epsilon _{2}}}}\cos \theta _{\mathrm {i} }+{\sqrt {\frac {\mu _{1}}{\epsilon _{1}}}}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2},}$

${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }-Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{Z_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }+Z_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {{\sqrt {\frac {\mu _{2}}{\epsilon _{2}}}}\cos \theta _{\mathrm {t} }-{\sqrt {\frac {\mu _{1}}{\epsilon _{1}}}}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{{\sqrt {\frac {\mu _{2}}{\epsilon _{2}}}}\cos \theta _{\mathrm {t} }+{\sqrt {\frac {\mu _{1}}{\epsilon _{1}}}}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2},}$

برحسب ضریب شکست این روابط چنین می‌شوند:

${\displaystyle R_{\mathrm {s} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {t} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }-n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {i} }+n_{2}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}}}\right|^{2}\!,}$

${\displaystyle R_{\mathrm {p} }=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}\cos \theta _{\mathrm {t} }+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}=\left|{\frac {n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}-n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}{n_{1}{\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{\mathrm {i} }\right)^{2}}}+n_{2}\cos \theta _{\mathrm {i} }}}\right|^{2}\!.}$

از روی این روابط، ضریب عبور از پایستگی انرژی به دست می‌آید:

${\displaystyle T_{\mathrm {s} }=1-R_{\mathrm {s} }}$

${\displaystyle T_{\mathrm {p} }=1-R_{\mathrm {p} }}$

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Fresnel equations». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۶/۱۲/۲۰۱۶.