میدان بسته جبری

در جبر به F یک میدان بسته گویند اگر هر چندجمله‌ای با یک متغیر از درجه ی حداقل ۱ و دارای ضریبی عضو F یک ریشه داخل F داشته‌باشد.

اعداد حقیقی یک میدان بسته نیست زیرا برای مثال چندجمله ایِ x^۲ + ۱ = ۰ در اعداد حقیقی دارای ریشه نیست در حالیکه تمام ضرایب جملات آن حقیقی هستند و x دارای توانی بزرگتر مساوی یک می باشد. به همین ترتیب می توان گفت که هیچ زیرمیدانی از اعداد حقیقی هم میدان بسته ای نیست پس مجموعه ی اعداد گویا نیز میدان بسته ای نمی‌باشد. همچنین؛ هیچ میدان متناهیِ F نیز بسته نمی‌باشد.

اثبات: اگر اعضای F را a_۱،a_۲،...،a_n در نظر بگیریم، چندجمله‌ایِ x − a_۱)(x − a_۲) ··· (x − a_n) + ۱) دارای هیچ ریشه ای در F نمی‌باشد.

گاوس در قضیه ی اساسیِ جبر اثبات کرد که مجموعه ی اعداد مختلط یک میدان بسته است.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.