نابرابری کوشی–شوارتز

نابرابری کوشی-شوارتز یا نابرابری کوشی-شوارتس-بونیاکوفسکی یک نابرابری پراستفاده در ریاضیات است که در زمینه‌های مختلفی مانند جبر خطی، آنالیز ریاضی و نظریه احتمالات مطرح می‌شود. نابرابری کوشی-شوارتز به عنوان یکی از مهم‌ترین نابرابری‌های ریاضیات شناخته می‌شود[1] و به نام آگوستین لویی کوشی و هرمن امندوس شوارتز خوانده می‌شود.

بیان نابرابری

نابرابری کوشی-شوارتز بیان می‌کند که برای هر دو بردار دلخواه x و y در فضای ضرب داخلی داریم:

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }$

که در آن ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ضرب داخلی است. هم‌چنین با گرفتن ریشه دوم طرفین و با توجه به نرم بردارها، نامساوی به شکل زیر نوشته می‌شود:

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|\,}$

حالت تساوی رخ می‌دهد اگر و فقط اگر x و y وابستهٔ خطی باشند.

به علاوه اگر ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {C} }$ و ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in \mathbb {C} }$ اعداد مختلط دلخواه باشند، و نماد بار نشان‌دهندهٔ مزدوج مختلط باشد، نابرابری را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

${\displaystyle |x_{1}{\bar {y}}_{1}+\cdots +x_{n}{\bar {y}}_{n}|^{2}\leq (|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2})(|y_{1}|^{2}+\cdots +|y_{n}|^{2}).}$

منابع

1. The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Ch. 1 by J. Michael Steele.