هرم مربع‌القاعده

در هندسه، هرم مربع‌القاعده هرمی است که قاعده آن مربع باشد. اگر راس عمود بر بالای مرکز مربع قرار داشته باشد، یک هرم مربع راست است و دارای تقارن C_4v است. اگر تمام ضلع‌هایش برابر باشد، هرم مربع متساوی الاضلاع است و اولین جسم جانسون یعنی J1 می‌باشد.

روابط

همه اهرام مربع‌القاعده

در هرم مربع‌القاعده ای با حجم V و ارتفاع h و ضلع قاعده l همواره حجم با با رابطه${\displaystyle V={\frac {1}{3}}l^{2}h}$ محاسبه می‌گردد.

اهرام مربع‌القاعده راست

در هرم مربع سمت راست، تمام اضلاع جانبی دارای طول یکسانی هستند، و اضلاع غیر از قاعده مثلث متساوی‌الساقین هستند.

در هرم مربع راست با طول ضلع قاعده l و ارتفاع h و مساحت کل A و حجم V همواره روابط زیر برقرارند:

${\displaystyle A=l^{2}+l{\sqrt {l^{2}+(2h)^{2}}}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}l^{2}h}$

و ضلع جانبی برابر با:

${\displaystyle {\sqrt {h^{2}+{{l^{2}} \over {2}}}}}$

و ارتفاع مثلث‌های وجوه جانبی برابر با:

${\displaystyle {\sqrt {h^{2}+{{l^{2}} \over {4}}}}}$

و زوایا بین وجوه برابر با:

1. بین قاعده و وجهی جانبی:${\displaystyle \arctan \left({{2\,h} \over {l}}\right)}$
2. بین دو وجه جانبی:${\displaystyle \arccos \left({{-l^{2}} \over {l^{2}+4\,h^{2}}}\right)}$

جسم جانسونJ1

اگر تمام اضلاع دارای طول یکسانی باشند، وجوه جانبی هرم مثلث‌های متساوی الاضلاع هستند، و هرم، هرم مربع‌القاعده متساوی الاضلاع (جسم جانسون J1) نامیده می‌شود.

اگر طول هر ضلع را l و ارتفاع را h و مساحت کل را A و حجم را V در نظر بگیریم همواره روابط زیر برقرارند:

${\displaystyle h={\frac {1}{\sqrt {2}}}l}$

${\displaystyle A=(1+{\sqrt {3}})l^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{6}}l^{3}.}$

و زوایا بین وجوه برابر با:

1. بین قاعده و وجهی جانبی:${\displaystyle \arctan {{\biggl (}{\sqrt {2}}{\biggl )}}\approx 54.73561^{\circ }.}$
2. بین دو وجه جانبی:${\displaystyle \arccos {\biggl (}{-1 \over 3}{\biggl )}\approx 109.47122^{\circ }.}$

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Square pyramid». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۴ مارس ۲۰۲۱.