چندضلعی‌های کوژ و کاو

[[پرونده:Pentagon.svg|چپ|بندانگشتی||150px|پنج ضلعی منتظم مثال

در هندسه یک چند ضلعی می‌تواند کوژ (محدب) یا کاو (مقعر) باشد.محدب تمامی زاویه های داخلی کمتر از ۱۸۰ درجه است(مثلث و...) ولی کاو اگر شکلی حداقل یکی از زاویه های داخلی آن از ۱۸۰ درجه بزرگ تر باشد شکل کاو یا مقعر نام دارد.

چند ضلعی محدب

چند ضلعی محدب یک n ضلعی ساده است که سطح آن یک مجموعه محدب (کوژ) را تشکیل دهد، به عبارت دیگر باید بتوان از هر دو نقطه داخل چندضلعی (کوژ) خطی بین آن دو نقطه کشید در حالیکه تمام آن پاره خط درون چند ضلعی قرار داشته باشد

ویژگی‌های چند ضلعی محدب (کوژ)

ضلعی محدب دارای دو ویژگی مهم زیر است:

• • خط واصل بین هر دو نقطه دلخواه داخل یا روی چندضلعی کاملاً داخل یا روی چندضلعی قرار داشته باشد.

و یا اگر دو طرف هر ضلع را امتداد دهیم، به هیچ وجه ضلع دیگری را قطع نکند.

چند ضلعی کاو (مقعر)

چند ضلعی کاو (مقعر) یک چند ضلعی ساده است که کوژ(محدب) نباشد ، به عبارت دیگر یک مجموعه محدب (کوژ) را تشکیل ندهد.

یک چند ضلعی کاو (مقعر) قابل قسمت به دو یا چند چند ضلعی کوژ است.

ویژگی های چند ضلعی کاو (مقعر)

• حداقل یکی از زاویه های داخلی آن بیشتر از 180 درجه باشد .
• خط واصل بین دو نقطه دلخواه از داخل چند ضلعی لزوماً به طور کامل داخل چند ضلعی قرار نمی‌گیرد.
• اگر یکی از اضلاع را ادامه بدهیم شکل را به دوقسمت تقسیم می کند(شکل را قطع می کند)

فرمول جمع زوایای داخلی چند ضلعی

برای محاسبه جمع زوایای داخلی چند ضلعی آنرا مثلث بندی می کنیم. از یک راس به بقیه رئوس وصل کرده و تعداد مثلث های بدست آمده را در صد و هشتاد درجه ضرب می کنیم. به عبار دیگر داریم.${\displaystyle (n-2)\times 180}$

جمع زوایای داخلی و فرایند مثلث بندی که در انیمیشن کوتاه نمایش داده شده است.${\displaystyle (n-2)\times 180^{\circ }}$

مقدار هر زوایه و جمع زوایای داخلی یک n ضلعی منتظم و چگونگی تعیین مقدار آن .

همچنین جهت بدست آوردن هرزاویه داخلی یک چند ضلعی منتظم کافی است این مجموع را به تعداد اضلاع تقسیم کنیم، یعنی:${\displaystyle {\frac {(n-2)\times 180}{n}}}$

جمع زوایای داخلی	تعداد اضلاع
180	3
${\displaystyle 2\times 180}$	4
${\displaystyle 3\times 180}$	5
${\displaystyle 4\times 180}$	6
${\displaystyle 5\times 180}$	7
	...
${\displaystyle (n-2))\times 180}$	n

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Convex polygon». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.!