گروه گالوا

در ریاضیات، بخصوص در شاخه‌ای از جبر مجرد به نام نظریه گالوا، گروه گالوا برای نوع خاصی از توسیع‌های میدانی تعریف می‌شود. مطالعهٔ توسیع‌های میدانی و روابطشان با چند جمله‌ای‌هایی که منجر به تولیدشان می‌شود را نظریه گالوا می‌گویند. این اسم به افتخار اواریسته گالوا که ابتدا آن را کشف کرد، نامگذاری شده‌است.

تعریف

فرض کنید ${\displaystyle \mathrm {E} }$ توسیعی از میدان ${\displaystyle \mathrm {F} }$ باشد (به صورت ${\displaystyle \mathrm {E/F} }$ نوشته شده و به صورت "${\displaystyle \mathrm {E} }$ بر روی ${\displaystyle \mathrm {F} }$" خوانده می‌شود). اتومورفیسم ${\displaystyle \mathrm {E/F} }$ به صورت اتومورفیسم ${\displaystyle \mathrm {E} }$ که ${\displaystyle \mathrm {F} }$ را نقطه وار ثابت نگه می‌دارد تعریف می‌شود. به زبان دیگر، یک اتومورفیسم از ${\displaystyle \mathrm {E/F} }$ ایزومورفیسمی چون ${\displaystyle \alpha }$ از ${\displaystyle \mathrm {E} }$ به ${\displaystyle \mathrm {E} }$ است چنان‌که برای تمام ${\displaystyle \mathrm {x} \in \mathrm {F} }$‌ها داریم ${\displaystyle \alpha \mathrm {(x)=x} }$. مجموعه تمام اتومورفیسم‌های ${\displaystyle \mathrm {E/F} }$ تشکیل گروهی می‌دهند که عمل دوتایی آن ترکیب توابع است. این گروه را برخی مواقع به صورت ${\displaystyle \mathrm {Aut(E/F)} }$ می‌نویسند.

اگر ${\displaystyle \mathrm {E/F} }$ یک توسیع گالوا باشد آنگاه به ${\displaystyle \mathrm {Aut(E/F)} }$ گروه گالوای (توسیع) ${\displaystyle \mathrm {E} }$ بر روی ${\displaystyle \mathrm {F} }$ گویند و اغلب آن را با ${\displaystyle \mathrm {Gal(E/F)} }$ نمایش می‌دهند.[1]

اگر ${\displaystyle \mathrm {E/F} }$ توسیع گالوا نباشد، آنگاه گروه گالوای (توسیع) ${\displaystyle \mathrm {E} }$ روی ${\displaystyle \mathrm {F} }$ را برخی مواقع به صورت ${\displaystyle \mathrm {Aut(G/F)} }$ تعریف می‌کنند که در آن ${\displaystyle \mathrm {G} }$ بستار گالوای ${\displaystyle \mathrm {E} }$ می‌باشد.

مثال‌ها

در مثال‌های پایین ${\displaystyle F}$ یک میدان است و ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ، ${\displaystyle \mathbb {Q} }$، ${\displaystyle \mathbb {R} }$ به ترتیب میدان اعداد مختلط، حقیقی و گویا هستند. نماد ${\displaystyle F(a)}$ بیانگر توسیع میدانیست که از الحاق ${\displaystyle a}$ به میدان ${\displaystyle F}$ بدست آمده است.

• ${\displaystyle Gal(F/F)}$ گروه بدیهی تک عضویست، به آن خودریختی همانی گویند.
• ${\displaystyle Gal(\mathbb {C/R} )}$ دو عنصر دارد، خودریختی همانی و خودریختی مزدوج مختلط.[2]
• ${\displaystyle Aut(\mathbb {R/Q} )}$ بدیهیست. می توان نشان داد که هر خود ریختی از ${\displaystyle \mathbb {R} }$ باید ترتیب اعداد حقیقی را حفظ کرده و لذا باید همانی باشد.
• ${\displaystyle Aut(\mathbb {C/Q} )}$ یک گروه بی نهایت عضویست.
• ${\displaystyle Gal(\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$ دو عضو دارد، خودریختی همانی و خودریختی که ${\displaystyle +{\sqrt {2}}}$ و ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$ را با هم تعویض می کند.
• میدان ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ را در نظر بگیرید. گروه ${\displaystyle Aut(K/\mathbb {Q} )}$ تنها شامل خودریختی همانیست. علتش آن است که ${\displaystyle K}$ یک توسیع نرمال نبوده، لذا چون دو ریشه سوم مختلط 2 در توسیع وجود ندارد، ${\displaystyle K}$ یک میدان شکافنده نخواهد بود.
• اکنون ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )}$ را در نظر بگیرید که در آن ${\displaystyle \omega }$ ریشه سوم واحد است. گروه ${\displaystyle Gal(L/\mathbb {Q} )}$ یک ریخت با ${\displaystyle S_{3}}$ است و ${\displaystyle L}$ در حقیقت میدان شکافنده ی ${\displaystyle x^{3}-2}$ بر روی ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ می باشد.
• اگر ${\displaystyle q}$ توانی از عددی اول باشد و ${\displaystyle F=\mathbf {GF} (q)}$ و ${\displaystyle E=\mathbf {GF} (q^{n})}$ به ترتیب میدان‌های گالوا از مرتبه ${\displaystyle q}$ و ${\displaystyle q^{n}}$ باشند، آنگاه ${\displaystyle Gal(E/F)}$ دوری از مرتبه ${\displaystyle n}$ بوده و توسط هم‌ریختی فروبنیوس تولید شده است.
• اگر ${\displaystyle f}$ یک چندجمله ای تحویل ناپذیر از درجه ${\displaystyle p}$ با ضرایب گویا باشد و دقیقا دو ریشه غیر حقیقی داشته باشد، آنگاه گروه گالوای ${\displaystyle f}$ به صورت گروه تقارنی کامل ${\displaystyle S_{p}}$ خواهد بود.

یادداشت‌ها

1. برخی از مؤلفان از ${\displaystyle \mathrm {Aut(E/F)} }$ به عنوان گروه گالوای توسیع ${\displaystyle \mathrm {E/F} }$ استفاده کرده و همین نماد را به کار می‌برند، به عنوان مثال Jacobson 2009.
2. Cooke, Roger L. (2008), Classical Algebra: Its Nature, Origins, and Uses, John Wiley & Sons, p. 138, ISBN 9780470277973.

منابع

• Jacobson, Nathan (2009) [1985]. Basic Algebra I (2nd ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Lang, Serge (2002). Algebra (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Galois Group». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲ ژانویه ۲۰۱۹.