امید ریاضی شرطی

امید ریاضی شرطی اگر X و Y متغیرهای تصادفی تواماً گسسته باشند، تابع احتمال شرطی X به شرط Y=y، برای همه مقادیر y که P{Y=y}>۰، به صورت زیر تعریف می‌شود

${\displaystyle P_{X|Y}(x|y)={\frac {P_{X,Y}(x,y)}{P_{Y}(y)}}}$

بنابراین در این حالت امید شرطی X به شرط Y = y را برای همه مقادیر y که P_Y(y)>۰ به صورت زیر تعریف کنیم:

${\displaystyle E[X|Y=y]=\sum _{x}xP[X=x|Y=y]}$

امید ریاضی شرطی و پیش بینی

گاهی وقت‌ها مقدار یک متغیر تصادفی مشاهده می‌شود و بر اساس این مقدار مشاهده شده، تلاش می‌شود مقدار متغیر تصادفی دیگری را پیش‌بینی کنیم.

تعاریف و مفاهیم

اگر مقدار متغیر تصادفی X برابر x مشاهده شود،. آنگاه مقدار متغیر تصادفی Y را با مقدار (g(x پیش‌بینی می‌کنیم. یعنی (g(X تابع پیش‌بینی ما می‌باشد. می‌خواهیم (g(X را طوری تعریف کنیم که نزدیک‌ترین تابع به Y باشد. یک معیار برای سنجش میزان این نزدیکی حداقل شدن عبارت [^۲E[(Y-g(X)) است. با نوشتن روابط مشخص می‌شود که بهترین پیش‌بینی برای Y برابر است با:

[g(X) = E[Y|X

منابع

مبانی احتمال، نویسنده: شلدون راس، مترجم دکتر احمد پارسیان و علی همدانی، ویرایش هشتم، فصل ۷، بخش ۶