بسط مجانبی

در ریاضیات، بسط مجانبی یا گسترش ناهَمساویک( Asymptotic expansion)، دنباله‌های ناهمساویک یا گسترش پوانکاره سری‌های صوری از توابعی هستند که بعد از تعداد محدودی قطع می‌شوند.

بررسی‌های ژرفتر[1] نشان می‌دهد که بخش واگرای یک بسط مجانبی معنی دار است، یعنی اطلاعاتی دربارهٔ مقدار دقیق تابع گسترش دارد.

نمونه‌هایی از بسط های مجانبی

• تابع گاما

${\displaystyle {\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\rightarrow \infty )}$

• انتگرال نمایی

${\displaystyle xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\rightarrow \infty )}$

• تابع زتای ریمان

${\displaystyle \zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N-1}n^{-s}+{\frac {N^{1-s}}{s-1}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}}$

که ${\displaystyle B_{2m}}$ عدد برنولی است و ${\displaystyle s^{\overline {2m-1}}}$ یک rising factorial است. این گسترش برای همه همتافت‌های s معتبر است و اغلب برای محاسبه تابع زتا با استفاده از مقادیر بزرگ از N برای نمونه ${\displaystyle N>|s|}$ استفاده می‌شود.

• تابع خطا

${\displaystyle {\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}{\rm {erfc}}(x)=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{n!(2x)^{2n}}}.}$

پانویس

1. R.B. Dingle, Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation, Academic Press (1973).

منابع

• Bleistein, N. and Handelsman, R. , Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975.
• Copson, E. T., Asymptotic Expansions, Cambridge University Press, 1965.
• A. Erdélyi, Asymptotic Expansions, Dover, New York, 1955.
• Hardy, G. H., Divergent Series, Oxford University Press, 1949.
• Paris, R. B. and Kaminsky, D. , Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001.
• Whittaker, E. T. and Watson, G. N. , A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963.

پیوند به بیرون

• "Asymptotic expansion", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Wolfram Mathworld: Asymptotic Series