تابع شمارش اعداد اول

در ریاضیات تابع شمارش اعداد اول تابعی است که برای بیان تعداد اعداد اول به کار می‌رود و آن را با نماد ${\displaystyle \pi (x)}$ نمایش می‌دهند.

نمودار تعداد اعداد اول کوچک تر ۶۰

تاریخچه

در قرن ۱۸ گاوس و لژاندر توانستند تقریب دقیق ${\displaystyle x/\operatorname {ln} (x)\!}$ را برای تعداد اعداد اول به دست آورند که بعدها این تقریب به نظریه اعداد اول مشهور شد و بر اساس آن ثابت شد که:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln} (x)}}=1.\!}$

با تعریف تابع انتگرال لگاریتم که آن را با نماد ${\displaystyle li(x)}$ نمایش می دهند و به صورت زیر تعریف می شود:

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.\;}$

ثابت شد که:

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1\!}$

بررسی تابع

${\displaystyle x}$	${\displaystyle \pi (x)}$	${\displaystyle {\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}}$
۱۰	۴	۰٫۹۲۱
۱۰^۲	۲۵	۱٫۱۵۱
۱۰^۳	۱۶۸	۱٫۱۶۱
۱۰^۴	۱٬۲۲۹	۱٫۱۳۲
۱۰^۵	۹٬۵۹۲	۱٫۱۰۴
۱۰^۶	۷۸٬۴۹۸	۱٫۰۸۴
۱۰^۷	۶۶۴٬۵۷۹	۱٫۰۷۱
۱۰^۸	۵٬۷۶۱٬۴۵۵	۱٫۰۶۱
۱۰^۹	۵۰٬۸۴۷٬۵۳۴	۱٫۰۵۴
۱۰^۱۰	۴۵۵٬۰۵۲٬۵۱۱	۱٫۰۴۸
۱۰^۱۱	۴٬۱۱۸٬۰۵۴٬۸۱۳	۱٫۰۴۳
۱۰^۱۲	۳۷٬۶۰۷٬۹۱۲٬۰۱۸	۱٫۰۳۹
۱۰^۱۳	۳۴۶٬۰۶۵٬۵۳۶٬۸۳۹	۱٫۰۳۴
۱۰^۱۴	۳٬۲۰۴٬۹۴۱٬۷۵۰٬۸۰۲	۱٫۰۳۳
۱۰^۱۵	۲۹٬۸۴۴٬۵۷۰٬۴۲۲٬۶۶۹	۱٫۰۳۱
۱۰^۱۶	۲۷۹٬۲۳۸٬۳۴۱٬۰۳۳٬۹۲۵	۱٫۰۲۹
۱۰^۱۷	۲٬۶۲۳٬۵۵۷٬۱۵۷٬۶۵۴٬۲۳۳	۱٫۰۲۷
۱۰^۱۸	۲۴٬۷۳۹٬۹۵۴٬۲۸۷٬۷۴۰٬۸۶۰	۱٫۰۲۵
۱۰^۱۹	۲۳۴٬۰۵۷٬۶۶۷٬۲۷۶٬۳۴۴٬۶۰۷	۱٫۰۲۴
۱۰^۲۰	۲٬۲۲۰٬۸۱۹٬۶۰۲٬۵۶۰٬۹۱۸٬۸۴۰	۱٫۰۲۳
۱۰^۲۱	۲۱٬۱۲۷٬۲۶۹٬۴۸۶٬۰۱۸٬۷۳۱٬۹۲۸	۱٫۰۲۲
۱۰^۲۲	۲۰۱٬۴۶۷٬۲۸۶٬۶۸۹٬۳۱۵٬۹۰۶٬۲۹۰	۱٫۰۲۱
۱۰^۲۳	۱٬۹۲۵٬۳۲۰٬۳۹۱٬۶۰۶٬۸۰۳٬۹۶۸٬۹۲۳	۱٫۰۲۰
۱۰^۲۴	۱۸٬۴۳۵٬۵۹۹٬۷۶۷٬۳۴۹٬۲۰۰٬۸۶۷٬۸۶۶	۱٫۰۱۹
۱۰^۲۵	۱۷۶٬۸۴۶٬۳۰۹٬۳۹۹٬۱۴۳٬۷۶۹٬۴۱۱٬۶۸۰	۱٫۰۱۸

همانطور که مشاهده می‌شود اعداد به ۱ نزدیک می‌شوند.

محدوده تابع

ریاضیدان فرانسوی پیر دوسارارت ثابت کرد که برای x ≥ ۵۹۹ رابطه زیر برقرار است:

${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}\right)<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x}}\left(1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2.51}{(\ln x)^{2}}}\right).}$

همچنین ثابت کرد که برای هر x ≥ ۳۵۵۹۹۱:

${\displaystyle {\frac {x}{\ln x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-4}}}$

بعدها ثابت شد که برای هر ε>۰ وجود دارد عددی طبیعی ماننده s که برای هر x>s رابطه زیر برقرار است:

${\displaystyle {\frac {x}{\ln x-(1-\varepsilon )}}<\pi (x)<{\frac {x}{\ln x-(1+\varepsilon )}}.}$

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Prime-counting_function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.