تابع انتگرال لگاریتم

در ریاضیات،تابع انتگرال لگاریتم یا انتگرال لگاریتم نام یکی از توابع ویژه است.با توجه به قضیه سیگل-والفیزز این تابع تقریب بسیار خوبی به عنوان تعداد اعداد اول کمتر مساوی با یک مقداد معین میزند که کاربرد بسیاری را در فیزیک و نظریه اعداد اول ایفا می کند.

نمودار تابع انتگرال لگاریتم

تعریف

تابع انتگرال لگاریتم را با نماد ${\displaystyle {\rm {li}}(x)\;}$ نمایش می دهند و به صورت زیر تعریف می شود

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.\;}$

نمایش تابع به صورت سری

تابع انتگرال لگاریتم را می توان به صورت چندین سری مختلف نمایش داد.برای مثال:

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}.}$

که در اینجا γ ثابت اویلر نام دارد و حدوداً برابر است با γ ≈ 0.57721 56649 01532

هم ارزی های تابع

برای این تابع هم ارزی های مختلفی وجود دارد از جمله

${\displaystyle {\rm {li}}(x)=O\left({x \over \ln x}\right)\;}$

${\displaystyle {\rm {li}}(x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$

${\displaystyle {\frac {{\rm {li}}(x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots }$

تابع آفست انتگرال لگاریتم و کاربرد آن

تابع آفست انتگرال لگاریتم را با نماد ${\displaystyle {\rm {Li}}(x)}$ نمایش می دهند و به صورت زیر تعریف می شود

${\displaystyle {\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\,={\rm {li}}(x)-{\rm {li}}(2)\,}$

این تابع در ریاضیات گسسته و نظریه اعداد اول کاربرد قابل توجهی را دارا می باشد مثلاً ثابت شده است که :

${\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {Li} (x)}$

که در آن ${\displaystyle \pi (x)}$ تابع شمارش اعداد اول است .

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Logarithmic integral function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.