تابع منگولد

در ریاضیات، تابع منگلولد نوعی تابع حسابی است که به افتخار ریاضیدان آلمانی هانس ون منگلولد نامیده شد. این تابع، مثالی از توابع حسابی است که نه ضربی و نه جمعی می باشد.

تعریف

تابع منگلولد را با نماد ${\displaystyle \Lambda (n)}$ نشان می‌دهند و به شکل زیر تعریف می‌شود.

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\ln p&{\mbox{if }}n=p^{k}{\mbox{ for some prime }}p{\mbox{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

مقادیر ${\displaystyle \Lambda (n)}$ برای نه تا از اولین اعداد صحیح مثبت (یعنی اعداد طبیعی) بدین صورت است:

${\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,}$

که مرتبط با (دنبالهٔ A014963 در OEIS) است.

تابع جمع منگلد ${\displaystyle \psi }$، که به آن تابع چبیشف دوم هم می گویند به این صورت تعریف می شود:

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$

فون منگولد اثبات استواری برای فرمول دقیق ${\displaystyle \psi (x)}$ مربوط به جمع صفرهای نابدیهی تابع زتای ریمان ارائه نود. این دستاورد بخش مهمی از اولین اثبات قضیه اعداد اول بود.

خواص

برای تابع منگولد اتحاد زیر برقرار است:[1][2]

${\displaystyle \log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).}$

جمع روی کل اعداد صحیح ${\displaystyle d}$ که ${\displaystyle n}$ را می شمارند گرفته شده است. این اتحاد توسط قضیه بنیادی حساب اثابت شده است، چرا که جملاتی که توان‌هایی از اعداد اول نیستند برابر صفر است. به عنوان مثال، حالتی که ${\displaystyle n=12=2^{2}\times 3}$ را در نظر بگیرید. آنگاه:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}}$

براساس معکوس گیری موبیوس داریم:[2][3][4]

${\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .}$

پانویس

1. Apostol (1976) p.32
2. Tenenbaum (1995) p.30
3. Apostol (1976) p.33
4. Schroeder, Manfred R. (1997). Number theory in science and communication. With applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity. Springer Series in Information Sciences. 7 (3rd ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-62006-0. Zbl 0997.11501.

منابع

• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. Heath-Brown, D. R.; Silverman, J. H., eds. An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8. MR 2445243. Zbl 1159.11001.
• Tenebaum, Gérald (1995). Introduction to analytic and probabilistic number theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 46. Translated by C.B. Thomas. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-41261-7. Zbl 0831.11001.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Von Mangoldt Function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.