تابع موبیوس

تابع موبیوس٬ که با ${\displaystyle \mu }$ نمایش داده می‌شود٬ تابعی پر اهمیت در نظریه‌ی اعداد و ترکیبیات است. آگوست فردینانند موبیوس صورت اولیه‌ی این تابع را در سال ۱۸۳۲ میلادی معرفی کرد.

تعریف

برای هر عدد صحیح مثبت ${\displaystyle n}$ مقدار تابع موبیوس با توجه به تجزیه‌ی ${\displaystyle n}$ به عوامل اول به صورت زیر تعریف می‌شود:

• اگر ${\displaystyle n}$ خالی از مربع نباشد، یعنی اگر عدد اول ${\displaystyle p}$ موجود باشد که مربع آن ${\displaystyle p^{2}}$، عدد ${\displaystyle n}$ را بشمارد، آن‌گاه ${\displaystyle \mu (n)=0}$؛
• اگر ${\displaystyle n}$ خالی از مربع باشد و تعداد عوامل اول ${\displaystyle n}$ برابر ${\displaystyle k}$ باشد، یعنی اگر ${\displaystyle n}$ حاصل‌ضرب ${\displaystyle k}$ عدد اول متفاوت باشد، آن‌گاه ${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{k}}$.

برای مثال، اگر عدد ۲۴${\displaystyle n=}$ را در نظر بگیریم، ${\displaystyle \mu (n)=0}$ زیرا ۲۴ خالی از مربع نیست. اما اگر عدد ۳۰${\displaystyle n=}$ را در نظر بگیریم، ${\displaystyle \mu (n)=(-1)}$ زیرا ۳۰ حاصل‌ضرب سه عدد اول متفاوت ۲، ۳ و ۵ است.

مقادیر تابع موبیوس برای برخی اعداد صحیح مثبت

۳۰	۲۹	۲۸	۲۷	۲۶	۲۵	۲۴	۲۳	۲۲	۲۱	۲۰	۱۹	۱۸	۱۷	۱۶	۱۵	۱۴	۱۳	۱۲	۱۱	۱۰	۹	۸	۷	۶	۵	۴	۳	۲	۱	${\displaystyle n}$
۱-	۱-	۰	۰	۱	۰	۰	۱-	۱	۱	۰	۱-	۰	۱-	۰	۱	۱	۱-	۰	۱-	۱	۰	۰	۱-	۱	۱-	۰	۱-	۱-	۱	${\displaystyle \mu (n)}$

خواص تابع موبیوس

تابع موبیوس یک تابع ضربی است.

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Möbius function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۳۰ ژانویه ۲۰۲۰.

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ تابع موبیوس موجود است.