تابع مولد احتمال

در نظریه احتمال، تابع مولد احتمال (به انگلیسی: Probability-generating function) یک متغیر تصادفی گسسته، یک نمایش سری‌های توانی از تابع جرمی احتمال یک متغیر تصادفی است. توابع مولد احتمال معمولاً برای ایجاز در توصیفات دنباله‌ای از احتمالات Pr(X) = i، و همچنین فراهم ساختن یک فرضیه مناسب از سری‌های توانی با ضرایب نا-منفی، به کار گرفته می‌شوند. هم چنین از این تابع برای محاسبه گشتاورهای مراتب مختلف (مانند امید ریاضی یک متغیر تصادفی) استفاده میشود.

تعریف

اگر X یک متغیر تصادفی گسسته باشد که مقادیری از بعضی زیر مجموعه‌های نا-منفی اعداد صحیح {۰، ۱، ۲، ...} اتخاذ کند، آنگاه تابع مولد احتمال X اینگونه تعریف می‌گردد:

${\displaystyle G(z)={\textrm {E}}(z^{X})=\sum _{i=0}^{\infty }f(i)z^{i},}$

که در آن f تابع جرمی احتمالX است. دقت کنید که نشانه‌گذاری معادل G_X بعضی مواقع برای متمایز ساختن توابع مولد احتمال متغیرهای تصادفی مختلفی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

خواص

سری‌های توانی

توابع مولد احتمال از تمام قوانین سری‌های توانی با ضرایبِ نا-منفی تبعیت می‌کنند. به طور خاص G(۱-) = ۱، تا زمانی‌که احتمالات باید ۱ واحد افزوده شوند و در جاییکه G(۱-) = lim_z→۱G(z)، آن‌گاه طبق قضیهٔ آبل برای سری‌های توانی با ضرایب نا-منفی، شعاع همگرایی هر تابع مولد احتمال باید حداقل ۱ باشد.

توابع برای متغیرهای تصادفی مستقل

توابع مولد احتمال به‌طور خاص برای کار کردن با توابع متغیرهای تضادفی مستقل، کاربرد دارند. به عنوان مثال:

اگر X_۱، X_۲، ...، X_n یک دنباله از متغیرهای تصادفی مستقل (و نه لزوماً با توزیع یکنواخت) باشند و همچنین

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},}$

که در آن a'_iها ثابت هستند، آنگاه تابع مولد احتمال بدین شکل است:

${\displaystyle E(z^{S_{n}})=E(z^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},})=G_{S_{n}}(z)=G_{X_{1}}(z^{a_{1}})G_{X_{2}}(z^{a_{2}})\ldots G_{X_{n}}(z^{a_{n}}).}$

به عنوان مثال اگر:

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i},}$

آنگاه تابع مولد احتمالِ (G_Sn(z به شکل زیر است:

${\displaystyle G_{S_{n}}(z)=G_{X_{1}}(z)G_{X_{2}}(z)\ldots G_{X_{n}}(z).}$

همچنین تابع مولد احتمالِ اختلاف میان دو متغیر تصادفی (S = X_۱ − X_۲) برار است با:

${\displaystyle G_{S}(z)=G_{X_{1}}(z)G_{X_{2}}(1/z).}$

مثال‌ها

• تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی ثابت، به عنوان مثال Pr(X=c) = ۱، به شکل زیر است:

${\displaystyle G(z)=\left(z^{c}\right).}$

• تابع مولد احتمال یک متغیر تصافی با توزیع دوجمله‌ای، تعداد موفقیت‌ها درn آزمایش، با احتمال موفقیت p در هر مرحله برابر است با:

${\displaystyle G(z)=\left[(1-p)+pz\right]^{n}.}$

• تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی دو جمله‌ای منفی که در آن تعداد آزمایش‌های لازم برای رسیدن به rامین موفقیت با احتمال موفقیت p در هر آزمایش، برابر است با:

${\displaystyle G(z)=\left({\frac {pz}{1-(1-p)z}}\right)^{r}.}$

• تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی پواسون با نرخ λ برابرست با:

${\displaystyle G(z)=\left({\textrm {e}}^{\lambda (z-1)}\right).}$

توابع مولد احتمال برای متغیرهای تصادفی پیوسته

مفهوم تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی تنها، می‌تواند به تابع مولد احتمال برای دو یاچند متغیر تصادفی پیوسته نیز تعمیم داده شود.

مفاهیم مرتبط

از تابع مولد احتمال به‌ندرت با نام تبدیلِ z یک تابع جرمی احتمال نیز یاد می‌شود. این یک نمونه از تابع مولد یک دنباله نیز هست(به سری‌های توانی منظم رجوع شود).

منابع

• Wikipedia contributors، "Probability-generating function،" Wikipedia، The Free Encyclopedia، http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Probability-generating_function&oldid=189467737 (accessed February ۲۰، ۲۰۰۸).