تبدیل موجک سریع

تبدیل موجک سریع الگوریتمی ریاضی برای یافتنِ تبدیل موجک یک سیگنال است. بدین منظور تصویرِ سیگنال روی هر یک از توابع موجک در زمان‌ها و مقیاس‌های مختلف محاسبه می‌گردد. به عبارت دیگر، حاصل‌ضرب داخلی سیگنال ${\displaystyle f(t)}$ با هر یک از موجک‌ها ${\displaystyle \phi }$ به شکل زیر محاسبه می‌شود:

${\displaystyle s_{n}^{(J)}:=2^{J}\langle f(t),\phi (2^{J}t-n)\rangle ,}$

تصویر سیگنال بر فضای ${\displaystyle V_{j}}$ برابر است با:

${\displaystyle P_{J}[f](x):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }s_{n}^{(J)}\,\phi (2^{J}x-n)}$

تبدیل موجک گسسته

یک مرحله از تبدیل موجک با فیلترهای h و g

با داشتنِ مضارب ${\displaystyle s^{(J)}}$ با الگوریتمِ بازگشتی مضارب ${\displaystyle s^{(J-1)}}$ را با استفاده از رابطهٔ زیر می‌توان یافت:

${\displaystyle s_{n}^{(k)}:={\frac {1}{2}}\sum _{m=-N}^{N}a_{m}s_{2n+m}^{(k+1)}}$

یا:

${\displaystyle s^{(k)}(Z):=(\downarrow 2)(a^{*}(Z)\cdot s^{(k+1)}(Z))}$

و:

${\displaystyle d_{n}^{(k)}:={\frac {1}{2}}\sum _{m=-N}^{N}b_{m}s_{2n+m}^{(k+1)}}$

یا:

${\displaystyle d^{(k)}(Z):=(\downarrow 2)(b^{*}(Z)\cdot s^{(k+1)}(Z))}$

اعمال بانک فیلتر به صورت بازگشتی

که ${\displaystyle (\downarrow 2)}$ عملگر زیرنمونه‌گیری است و در فضای زد به صورت سری لوران ضرایب با اندیس زوج تعریف می‌شود:

${\displaystyle (\downarrow 2)(c(Z))=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{2k}Z^{k}}$

بدین ترتیب:

${\displaystyle P_{k}[f](x):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }s_{n}^{(k)}\,\phi (2^{k}x-n)}$

که حاصل جمعِ بالا برابر با تصویر سیگنال ${\displaystyle P_{k}[f](x)}$ بر زیرفضای ${\displaystyle V_{k}}$ است. در نتیجه:

${\displaystyle P_{J}[f](x)=P_{k}[f](x)+D_{k}[f](x)+\dots +D_{J-1}[f](x)}$

که ضرایب جزئی برابرند با:

${\displaystyle D_{k}[f](x):=\sum _{n\in \mathbb {Z} }d_{n}^{(k)}\,\psi (2^{k}x-n)}$

که ${\displaystyle \psi }$ موجک مادر نامیده می‌شود.