تحلیل مجانبی

در آنالیز ریاضی، تحلیل مجانبی[1] (به انگلیسی: Asymptotic analysis) یا واکافت ناهَمساویک روش توصیف رفتار حدی است. چنین روش در علوم مختلف کاربرد دارد، نمونه:

• در ریاضیات کاربردی، تحلیل مجانبی برای ساختن روش‌های عددی برای تقریب راه حل معادله‌ها استفاده می‌شود.
• در علوم رایانه در تحلیل الگوریتم‌ها، به کارایی الگوریتم‌ها برای ورودی‌های بسیار بزرگ می‌پردازد.

تابع f(n) را در نظر بگیرید، تحلیل مجانبی به توصیف ویژگی این تابع وقتی n خیلی بزرگ می‌شود، می‌پردازد. اگر داشته باشیم f(n) = n²+3n، عبارت 3n وقتی n خیلی بزرگ می‌شود، بی‌اهمیت می‌شود، بنابراین این چنین گفته می‌شود که این تابع به صورت مجانبی هم‌ارز n² است وقتی که n → ∞" و چنین نوشته می‌شود f(n) ~ n².

تعریف

با داشتن تابع f و g از یک متغیر عدد طبیعی n، رابطه دودویی

${\displaystyle f\sim g\quad ({\text{as }}n\to \infty )}$

صادق است اگر و تنها اگر

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {f(n)}{g(n)}}=1~.}$

این رابطه رابطه هم‌ارزی بر روی مجموعه‌ای از تابع‌هایی از n است. کلاس هم‌ارزی f تشکیل شده است از همه تابع‌های g که تقریباً در حد برابر با f می‌باشند.

ویژگی‌ها

اگر ${\displaystyle f\sim g}$، آنگاه برای هر r واقعی ${\displaystyle f^{r}\sim g^{r}}$، و

${\displaystyle \log(f)\sim \log(g)}$.

اگر ${\displaystyle f\sim g}$ and ${\displaystyle a\sim b}$، آنگاه ${\displaystyle f\times a\sim g\times b}$، و

${\displaystyle f/a\sim g/b}$.

با این ویژگی می‌توان تابع‌های «ناهَمساویکانه هم‌ارز» را در عبارت‌های جبری جایگزین یکدیگر کرد.

جستارهای وابسته

• مجانب
• پیچیدگی رایانشی ناهمساویک

منابع

• Boyd, John P. (March 1999). "The Devil's Invention: Asymptotic, Superasymptotic and Hyperasymptotic Series". Acta Applicandae Mathematicae. 56 (1): 1–98. doi:10.1023/A:1006145903624.
• Asymptotic Expansions (Dover Books on Mathematics) by A. Erdelyi, 1956.

1. «مجانبی» [ریاضی] هم‌ارزِ «asymptotic»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. دفتر چهارم. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۶۴-۷۵۳۱-۵۹-۱ (ذیل سرواژهٔ مجانبی)