توزیع وارن نرمال-ویشارت

در نظریه احتمالات و آمار توزیع وارون نرمال-ویشارت خانواده ای پیوسته از توزیع‌ها با 4 پارامتر است. این توزیع معمولاً در آمار بیزی زمانی که بردار میانگین و ماتریس کواریانس (عکس ماتریس دقت) نامعلوم باشند، کاربرد دارد. [1]

normal-inverse-Wishart

نماد	${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})\sim \mathrm {NIW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu )}$
فراسنجه‌ها	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}\in \mathbb {R} ^{D}\,}$ پارامتر مکان (vector of عدد حقیقی) ${\displaystyle \lambda >0\,}$ (real) ${\displaystyle {\boldsymbol {\Psi }}\in \mathbb {R} ^{D\times D}}$ inverse scale matrix (pos. def.) ${\displaystyle \nu >D-1\,}$ (real)
تکیه‌گاه	${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{D};{\boldsymbol {\Sigma }}\in \mathbb {R} ^{D\times D}}$ ماتریس کوواریانس (pos. def.)
تابع چگالی احتمال	${\displaystyle f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu )={\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},{\tfrac {1}{\lambda }}{\boldsymbol {\Sigma }})\ {\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu )}$

تعریف

اگر متغیر میانگین را با توزیعی نرمال تعریف کنیم

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Sigma }}\sim {\mathcal {N}}\left({\boldsymbol {\mu }}{\Big |}{\boldsymbol {\mu }}_{0},{\frac {1}{\lambda }}{\boldsymbol {\Sigma }}\right)}$

و همچنین متغیر ماتریس کواریانس را با توزیع ویشارت

${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu \sim {\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu )}$

توزیع مشترک آن‌ها را به صورت زیر نمایش می‌دهیم

${\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})\sim \mathrm {NIW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu ).}$

که عبارت است از:

${\displaystyle f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu )={\mathcal {N}}\left({\boldsymbol {\mu }}{\Big |}{\boldsymbol {\mu }}_{0},{\frac {1}{\lambda }}{\boldsymbol {\Sigma }}\right){\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu )}$

توزیع های مربوطه

• توزیع نرمال-ویشارت
• توزیع وارون نرمال-گاما
• توزیع ویشارت وارونه

سایر

1. Murphy, Kevin P. (2007). "Conjugate Bayesian analysis of the Gaussian distribution."

منابع

• Bishop, Christopher M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer Science+Business Media.
• Murphy, Kevin P. (2007). "Conjugate Bayesian analysis of the Gaussian distribution."