حلقه موضعی

در جبر مجرد، یا به طور خاص تر در نظریه حلقه ها، حلقه های موضعی حلقه هایی هستند که نسبتاً ساده بوده و برای توصیف چیزی مورد استفاده قرار می گیرند که به آن اصطلاحاً "رفتار موضعی" می گویند. مثل توابعی که روی واریته ها یا منیفلد ها یا میدان های عددی جبری تعریف می شوند و می خواهیم آن توابع را در مکان یا عنصر اول مورد بررسی قرار دهیم. جبر موضعی شاخه ای از جبر جابجایی است که به مطالعهٔ حلقه های موضعی جابجایی و مدول هایشان می پردازد.

در عمل، حلقه موضعی جابجایی اغلب به عنوان نتیجه ای از موضعی سازی یک حلقه در ایده‌آل اول آن بوجود می آید.

مفهوم حلقه های موضعی توسط ولگانگ کرول در سال ۱۹۳۸ تحت عنوان Stellenringe معرفی شد [1] که معنی آن حلقه موضعی می شود. معادل انگلیسی آن یعنی local ring نیز توسط زاریسکی معرفی شد.[2]

تعریف و اولین پیامدهایش

یک حلقه موضعی است اگر هریک از خواص معادل زیر برقرار باشند:

• ${\displaystyle R}$ یک ایده آل چپ ماکسیمال منحصربفرد دارد.
• ${\displaystyle R}$ یک ایده آل راست ماکسیمال منحصربفرد دارد.
• ${\displaystyle 1\neq 0}$ و جمع هر دو عضو معکوس ناپذیر ضربی (به انگلیسی: non-unit) در ${\displaystyle R}$ معکوس ناپذیر است.
• ${\displaystyle 1\neq 0}$ و اگر ${\displaystyle x}$ عضو دلخواهی از ${\displaystyle R}$ باشد، آنگاه ${\displaystyle x}$ یا ${\displaystyle 1-x}$ معکوس پذیر ضربی است.
• اگر جمع متناهی از عناصر معکوس پذیر ضربی باشد، آنگاه عضوی از اعضایی که با هم جمع شده اند معکوس پذیر ضربیست (در نتیجه به طور خاص می توان گفت که جمع تهی نمی تواند معکوس پذیر ضربی باشد، بنابر این نتیجه می شود که ${\displaystyle 1\neq 0}$).

منابع

1. Krull, Wolfgang (1938). "Dimensionstheorie in Stellenringen". J. Reine Angew. Math. (به German). 179: 204.
2. Zariski, Oscar (May 1943). "Foundations of a General Theory of Birational Correspondences" (PDF). Trans. Amer. Math. Soc. American Mathematical Society. 53 (3): 490–542 [497]. doi:10.2307/1990215. JSTOR 1990215.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Local Ring». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.