رادیکال ایده‌آل

در نظریه حلقه های جابجایی، رادیکال یک ایده‌آل چون ${\displaystyle I}$، ایده‌آلی است به طوری که ${\displaystyle x}$ در این رادیکال است اگر و تنها اگر توانی از ${\displaystyle x}$ در ${\displaystyle I}$ باشد. ایده‌آل رادیکال (یا ایده‌آل نیم-اول)، ایده‌آلی است که برابر با رادیکال خودش باشد. رادیکال یک ایده‌آل اولیه، ایده‌آلی اول است.

تعمیم این مفهوم به حلقه های ناجابجایی در مقاله حلقه نیم-اول بحث شده است.

تعریف

رادیکال یک ایده‌آل چون ${\displaystyle I}$ در یک حلقه جابجایی به صورت ${\displaystyle \operatorname {rad} (I)}$ یا ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ نمایش داده شده و به صورت زیر تعریف می شود:

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{for some}}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\},}$

(دقت کنید که ${\displaystyle I\subset {\sqrt {I}}}$). به طور شهودی، ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ با گرفتن تمام ریشه های عناصر ${\displaystyle I}$ در حلقه ${\displaystyle R}$ بدست می آید.

منابع

• M. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1994. شابک ‎۰−۲۰۱−۴۰۷۵۱−۵
• Eisenbud, David, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, شابک ‎۰−۳۸۷−۹۴۲۶۸−۸ .
• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556, Zbl 0984.00001

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Radical of an Ideal». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.