رز (ریاضی)

در ریاضیات، رز (به انگلیسی: Rose) یا منحنی رودونی (به انگلیسی: Rhodonea curve) یک موج سینوسی رسم شده در مختصات قطبی است.

یک رز با k = 7 گلبرگ

یک رز با 8 گلبرگ (k=4).

تعریف ریاضی

بنا بر تشابه منحنی‌های رز را می‌توان با معادله‌ای در مختصات قطبی به شکل زیر نمایش داد:

${\displaystyle \!\,r=\cos(k\theta )}$

و یا می‌توان آن را به صورت دو معادله در مختصات دکارتی نمایش داد:

${\displaystyle \!\,x=\cos(kt)\sin(t)}$

${\displaystyle \!\,y=\cos(kt)\cos(t)}$

مساحت

برای رزی که معادله قطبی آن به شکل زیر باشد

${\displaystyle r=a\cos(k\theta )\,}$

و k عدد صحیح مثبت باشد، مساحت وقتی k فرد باشد، برابر است با

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}}$

و وقتی k زوج باشد :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}}$

منابع

• ویکی‌پدیای انگلیسی

پیوند به بیرون

• تولید کامپیوتری منحنی های رز با تغییر پارامترها توسط JSXGraph
• اپلت برای تولید منحنی های رز با تغییر پارامتر k