فرایندهای تصادفی گاوسی-مارکوف

فرآیندهای تصادفی گاوسی-مارکوف (برگرفته شده از نام کارل فریدریش گاوس و آندری مارکوف) فرآیندهای تصادفی هستند که ویژگیها و ملزومات فرایندهای گاوسی و فرآیندهای مارکوف را همزمان دارند.[1][2] فرایند گاوس مارکوف ایستا (همچنین شناخته شده به عنوان فرایند Ornstein–Uhlenbeck) استثنا بوده چرا که یکتا است؛ جز موارد جزئی.

هر فرایند گاوس–مارکف ${\displaystyle X(t)}$ دارای سه خاصیت زیر است:

1. اگر ${\displaystyle h(t)}$ تابع غیر صفر عددی از زمان t باشد،${\displaystyle Z(t)=h(t)X(t)}$ نیز فرایند گاوسی–مارکف است.
2. اگر ${\displaystyle f(t)}$ تابع غیرنزولی عددی از زمان t باشد، ${\displaystyle Z(t)=X(f(t))}$ نیز فرایند گاوسی–مارکف است.
3. اگر ${\displaystyle h(t)}$ تابع غیرصفر عددی،${\displaystyle f(t)}$ تابع غیرنزولی عددی باشد، داریم ${\displaystyle X(t)=h(t)W(f(t))}$ که ${\displaystyle W(t)}$ فرایند استاندارد وینر است.

خاصیت (۳) به این معنی است که هر فرایند گاوسی-مارکوف را می‌توان از ترکیب کردن فرایند استاندارد وینر (SWP) بدست آورد.

خواص فرآیندهای گاوس-مارکف ایستا

فرایند گاوسی–مارکف ایستا با واریانس ${\displaystyle {\textbf {E}}(X^{2}(t))=\sigma ^{2}}$ و ثابت زمانی ${\displaystyle \beta ^{-1}}$ دارای خاصیت‌های زیر می‌باشد.

همبستگی نمایی:

${\displaystyle {\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta |\tau |}.\,}$

تابع چگالی طیف توان (PSD) است که شبیه به توزیع کوشی است:

${\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}.\,}$

(توجه داشته باشید که از منظر فاکتورهای مقیاسی، توزیع کوشی و این طیف متفاوت هستند)

توجه داشته باشید که نکته اشاره شده در بالا، فاکتور طیفی زیر را نتیجه می‌دهد:

${\displaystyle {\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(-s+\beta )}}.}$

که در فیلترینگ وینر و دیگر موارد مهم و کاربردی است.

استثناهای جزئی در موارد بالا وجود دارد.

جستارهای وابسته

• فرایند اورنستین-یولنبک

منابع

1. C. E. Rasmussen & C. K. I. Williams, (2006). Gaussian Processes for Machine Learning (PDF). MIT Press. p. Appendix B. ISBN 0-262-18253-X.
2. Lamon, Pierre (2008). 3D-Position Tracking and Control for All-Terrain Robots. Springer. pp. 93-95. ISBN 978-3-540-78286-5.