قانون لگاریتم‌های تکراری

قانون لگاریتم‌های تکراری، اولین بار توسط A. Y. Khinchin[1] (به فارسی: خین‎چین) در سال ۱۹۲۴ و بعدها، در سال ۱۹۲۹ به وسیله A. N. Kolmogorov[2] (به فارسی: کولموگوروف) به صورت کامل‎تری بیان شد. همچنین ریشه این قانون به یک مسئله خاص در نظریه اعداد بازمی‌گردد.[3]

مقدمه

از قانون Hewitt-Savage 0-1(به فارسی: هویت سوج) می‌دانیم اگر ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$ متغیرهای تصادفی حقیقی با توزیع متقارن حول ${\displaystyle 0}$ باشند و ${\displaystyle S_{n}=\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$ باشد، آنگاه داریم:

$${\displaystyle -\infty =\liminf _{n\rightarrow \infty }S_{n}<\limsup _{n\rightarrow \infty }S_{n}=\infty }$$

که منظور از ${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }S_{n}}$ و ${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }S_{n}}$ به ترتیب حد سوپریمم و حد اینفیمم است.[4]

حال اگر بخواهیم کمی دقیق‎تر عبارت بالا را توسعه دهیم، باید از قانون Hartman-Wintner (به فارسی: هارتمن وینتنر) استفاده کنیم که بیان می‌کند:

$${\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {S_{n}}{-\phi (n)}}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {S_{n}}{\phi (n)}}=1\qquad almost\ surely}$$

و برای هر ${\displaystyle S_{n}}$ای که شرایط زیر را داشته باشد:

$${\displaystyle {\begin{cases}E[X_{n}]=0\\\\Var[X_{n}]=\sigma ^{2}=finite\\\end{cases}}}$$

داریم:[5]

نقاط خط چین در شکل مربوط به عبارت${\displaystyle {\sqrt {2\log \log(n)/n}}}$است و خط پر رنگ مربوط به ${\displaystyle S_{n}/n}$است؛ و همچنین ${\displaystyle S_{n}}$مربوط به سری ${\displaystyle S_{n}=2\sum _{k=1}^{n}x_{k}-n}$است که در آن ${\displaystyle X_{k}}$، ${\displaystyle k}$امین رقم اعشاری عدد ${\displaystyle \pi }$در سیستم دودویی است.

$${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {2\sigma ^{2}n\log \log(n)}}}=1\qquad almost\ surely}$$

برای درک بهتر مطالب بالا به شکل روبرو توجه کنید. سری ${\displaystyle S_{n}=2\sum _{k=1}^{n}x_{k}-n}$ را در نظر بگیرید که در آن ${\displaystyle X_{k}}$، ${\displaystyle k}$ امین رقم اعشاری عدد ${\displaystyle \pi }$در سیستم دودویی است. دو نمودار ${\displaystyle {\sqrt {2\log \log(n)/n}}}$(نقطه چین) و ${\displaystyle S_{n}/n}$ (خط پررنگ) رسم شده‌است و به وضوح می‌توان دید که وقتی ${\displaystyle n\longrightarrow \infty }$ این دو نمودار به هم همگرا می‌شوند.

مثال

فرض کنید با دوستتان سنگ، کاغذ، قیچی بازی می‌کنید به طوری که شما به احتمال ۱/۳ برنده می‌شوید، به احتمال ۱/۳ بازنده‌اید و به احتمال ۱/۳ کسی برنده نمی‌شود. اگر برنده شوید ۱ ریال دریافت می‌کنید، اگر بازنده شوید ۱ ریال به دوستتان می‌دهید و اگر کسی برنده نشود هیچ اتفاقی نمی‌افتد.

متغیر تصادفی ${\displaystyle X_{n}}$ را مقدار پولی در نظر بگیرید که در مرحله ${\displaystyle n}$ام بازی باید بپردازید به این ترتیب برای متغیر تصادفی مقادیر زیر را داریم:

شکست در تجزیه (خطای نحوی): {\displaystyle X_{n}=\{-1,0،1\}} که احتمال رویدادن هر کدام ۱/۳ است.

حال اگر ${\displaystyle S_{n}}$ را به صورت زیر تعریف کنیم:

$${\displaystyle S_{n}=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}=\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$$

مقدار ${\displaystyle S_{n}}$ بیانگر مقدار کل پرداختی ما تا مرحله ${\displaystyle n}$ام خواهد بود. ما علاقه‌مند به رفتار ${\displaystyle S_{n}}$در طولانی مدت هستیم.

برای ابن مثال خاص که صحبت شد می‌توان به سادگی نشان داد که:

$${\displaystyle {\begin{cases}E[X_{n}]=\sum X_{n}P(X_{n})=0\\\\\\Var[X_{n}]=E[X_{n}^{2}]-(E[X_{n}])^{2}=\sigma ^{2}={\frac {2}{3}}\\\end{cases}}}$$

و با جاگذاری مقادیر بالا داریم:

$${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {{\frac {4}{3}}n\log \log(n)}}}=1\qquad almost\ surely}$$

جستارهای وابسته

• قانون اعداد بزرگ
• قضیه حد مرکزی

منابع

1. Khintchine, Aleksandr (1924). "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung". Fundamenta Mathematicae. 6: 9–20. doi:10.4064/fm-6-1-9-20. ISSN 0016-2736.
2. Kolmogoroff, A. (1929-12). "�ber das Gesetz des iterierten Logarithmus". Mathematische Annalen. 101 (1): 126–135. doi:10.1007/bf01454828. ISSN 0025-5831. replacement character in |title= at position 1 (help); Check date values in: |date= (help)
3. W. FELLER (فوریه ۲۷, ۱۹۴۳). THE GENERAL FORM OF THE SO-CALLED LAW OF THE ITERATED LOGARITHM. صص. http://www٫ams٫org/journal-terms-of-use. کاراکتر line feed character در |عنوان= در موقعیت 34 (کمک)
4. Breiman، Leo (1992-01). Probability. Society for Industrial and Applied Mathematics. شابک ۹۷۸۰۸۹۸۷۱۲۹۶۴. تاریخ وارد شده در |تاریخ= را بررسی کنید (کمک)
5. "Law of the iterated logarithm". Wikipedia. 2018-03-28.