قانون متوازی الاضلاع

در ریاضیات، ساده ترین حالت از قانون متوازی‌الأضلاع (که به آن اتحاد متوازی‌الأضلاع نیز گفته می شود) متعلق به هندسه مسطحه مقدماتیست. این قانون بیان می دارد که جمع مربع چهار ضلع متوازی‌الأضلاع برابر جمع مربع اضلاع دو قطر آن است. ما اضلاع را با این نماد گذاری نمایش می دهیم: ${\displaystyle AB,BC,CD,DA}$. اما از آنجا که در ، اضلاع مقابل هم در یک متوازی‌الأضلاع لزوماً با هم برابر اند، یعنی ${\displaystyle AB=CD}$ و ${\displaystyle BC=DA}$، این قانون را می توان به صورت زیر بیان نمود:

${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}\,}$

یک متوازی‌الأضلاع. اضلاع به رنگ آبی و قطر ها به رنگ قرمز نمایش داده شده اند.

اگر متواضی الاضلاع تبدیل به یک مستطیل گردد (چرا که مستطیل حالت خاصی از متوازی‌الأضلاع است)، طول دو قطر آن با هم برابر شده ${\displaystyle AC=BC}$، لذا در این حالت خواهیم داشت:

${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=2AC^{2}\,}$

که همان قضیه فیثاغورث است. برای چهار ضلعی های کلی تر که در آن ها اضلاع مقابل هم لزوماً موازی نیستند داریم:

${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2},}$

که در آن ${\displaystyle x}$ طول پاره خط متصل کننده ی میانه های قطرهاست. می توان از شکل مشاهده کرد برای حالت متوازی‌الأضلاع، ${\displaystyle x=0}$ بوده و اتحاد فوق در این حالت به همان قانون متوازی‌الأضلاع که ذکر آن رفت تبدیل می شود.

اثبات

در متوازی‌الأضلاع سمت چپ، داریم: ${\displaystyle AD=BC=a,AB=DC=b,\angle BAD=\alpha }$. با استفاده از قانون کسینوس ها در مثلث ${\displaystyle \bigtriangleup {BAD}}$، بدست می آوریم:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}}$

در متوازی‌الأضلاع، زاویه های مجاور مکمل اند، لذا داریم ${\displaystyle \angle ADC=180\deg -\alpha }$. با استفاده از قانون کسینوس ها در مثلث ${\displaystyle \bigtriangleup ADC}$ بدست می آوریم:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}}$

با اعمال اتحاد مثلثاتی ${\displaystyle \cos(180^{\circ }-x)=-\cos x}$ به سمت چپ عبارت بالا، به معادله ی زیر می رسیم:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}}$

اکنون جمع مربعات ${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}}$ برابر خواهد بود با:

${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )}$

که بعد از ساده سازی به عبارت زیر می رسیم:

${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}}$

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Parallelogram Law». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.