قانون واریانس کلی

در نظریهٔ احتمال قانون (به انگلیسی: Law of total variance) واریانس کلی بیان می کند که اگر Xو Y متغیرهای تصادفی در فضای احتمال یکسان باشند و واریانس Y دارای مقدار محدود باشد در اینصورت داریم

${\displaystyle \operatorname {var} (Y)=\operatorname {E} (\operatorname {var} (Y\mid X))+\operatorname {var} (\operatorname {E} (Y\mid X)).\,}$

اثبات

از تعریف واریانس داریم

${\displaystyle \operatorname {Var} [Y]=\operatorname {E} [Y^{2}]-\operatorname {E} [Y]^{2}}$

که به صورت معادل برابر است با

${\displaystyle =\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y^{2}|X]\right]-\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y|X]\right]^{2}}$

می توان جمله ی اول از عبارت فوق را بر اساس واریانس آن بازنویسی کرد:

${\displaystyle =\operatorname {E} \!\left[\operatorname {Var} [Y|X]+\operatorname {E} [Y|X]^{2}\right]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]]^{2}}$

و جمع عبارات داخل امیدریاضی را تبدیل به جمع دو امیدریاضی کرد:

${\displaystyle =\operatorname {E} [\operatorname {Var} [Y|X]]+\left(\operatorname {E} \left[\operatorname {E} [Y|X]^{2}]-\operatorname {E} [\operatorname {E} [Y|X]\right]^{2}\right)}$

و در نهایت داریم:

${\displaystyle =\operatorname {E} \left[\operatorname {Var} [Y|X]\right]+\operatorname {Var} \left[\operatorname {E} [Y|X]\right]}$

تعمیم درجه های بالاتر

تعمیم قضیه ی فوق به گشتاور مرکزی درجه سه به صورت زیر است:

${\displaystyle \mu _{3}(Y)=\operatorname {E} (\mu _{3}(Y\mid X))+\mu _{3}(\operatorname {E} (Y\mid X))+3\,\operatorname {cov} (\operatorname {E} (Y\mid X),\operatorname {var} (Y\mid X)).\,}$

منابع

• Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2. (Problem 34.10(b))