قضیه منلائوس

قضیه مِنِلائوس از قضایای مهم هندسه است که بیان می‌دارد چنانچه خطی (در شکل EF) دو ضلع مثلثی (مثلث ABC در شکل ) را قطع کند آنگاه رابطۀ زیر برای آن برقرار است:

$${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=-1.}$$

قضیه منلائوس: حالت اول پاره خطDEF از داخل مثلث ABC می‌گذرد.

یا به صورت دیگر:

$${\displaystyle AF\times BD\times CE=-FB\times DC\times EA.}$$

[1]

این قضیه از پاره خط های علامتدار استفاده می‌کند. به عبارت دیگر طول پاره خط AB با توجه به اینکه نقطۀ A سمت راست B قرار دارد می‌تواند مثبت یا منفی تعریف شود.مثلا اگر F بین A و B باشد، نسبت AF به FB مثبت می‌شود و در غیر این صورت این مقدار منفی می‌شود.

عکس قضیه نیز برقرار است:

اگر نقاط D ,E,F طوری روی اضلاع مثلث انتخاب شوند که رابطۀ زیر برقرار باشد:

$${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BD}{DC}}\times {\frac {CE}{EA}}=-1.}$$

آنگاه نقاط D ,E ,F هم‌خط هستند.

قضیه منلائوس شباهت زیادی به قضیه سوا دارد.

منلائوس آن را در کتابش با نام Sphaerica نوشته است. این قضیه از مبانی مثلثات کروی می‌باشد.

جستارهای وابسته

• قضیه
• منلائوس
• هندسه
• مثلثات کروی
• مثلث
• دایره
• سینوس
• کسینوس

پانویس

1. Russel, p. 6.

منبع

• Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc. 1991