ماتریس نرخ انتقال

در نظریه احتمال ماتریس نرخ انتقال (همچنین شناخته شده به عنوان یک ماتریس شدت [1][2] یا ماتریس مولد بی‌نهایت کوچک[3]) آرایه‌ای از اعداد است که نرخ حرکت بین حالات زنجیره‌ای مارکوف زمان پیوسته را توصیف می‌کند.

در ماتریس نرخ انتقال Q (گاهی اوقات A هم نوشته می‌شود[4]) عنصر q_ij که (i ≠ j) نشان دهنده نرخ خروج از حالت i و رسیدن به حالت j می‌باشد. عناصر قطر اصلی ماتریس به صورت زیر تعریف می‌شوند:

q_{ii}=-\sum _{j\neq i}q_{ij}.

و بنابراین مجموع هر سطر از ماتریس صفر است.

تعریف

شرایط زیر در ماتریس Q یا (q_ij) برقرار می‌باشند:[5]

$0\leq -q_{ii}<\infty$
$0\leq q_{ij}:\mathrm {for} \;i\neq j$
$\sum _{j}q_{ij}=0:\mathrm {for} \;\mathrm {all} \;i$

این تعریف را می‌توان به عنوان لاپلاسین گراف وزن دار و جهت دار که راس‌هایش متناظر با حالت‌های زنجیره مارکوف هستند، تفسیر نمود.

مثال

به عنوان مثال صف M/M/1 - در این مدل تعداد کارهای موجود در صف سیستم شمارش خواهند شد، که نرخ ورود کارها λ و نرخ سرویس دهی به کارها μ می‌باشد- دارای ماتریس نرخ انتقال زیر می‌باشد:

Q={\begin{pmatrix}-\lambda &\lambda \\\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda \\&&\mu &-(\mu +\lambda )&\lambda &\\&&&&\ddots \end{pmatrix}}.

منابع

Syski, R. (1992). Passage Times for Markov Chains. IOS Press. doi:10.3233/978-1-60750-950-9-i. ISBN 90-5199-060-X.
Asmussen, S. R. (2003). "Markov Jump Processes". Applied Probability and Queues. Stochastic Modelling and Applied Probability. 51. pp. 39–59. doi:10.1007/0-387-21525-5_2. ISBN 978-0-387-00211-8.
Trivedi, K. S.; Kulkarni, V. G. (1993). "FSPNs: Fluid stochastic Petri nets". Application and Theory of Petri Nets 1993. Lecture Notes in Computer Science. 691. p. 24. doi:10.1007/3-540-56863-8_38. ISBN 978-3-540-56863-6.
Rubino, Gerardo; Sericola, Bruno (1989). "Sojourn Times in Finite Markov Processes". Journal of Applied Probability. Applied Probability Trust. 26 (4): 744–756. JSTOR 3214379.
Norris, J. R. (1997). "Markov Chains". doi:10.1017/CBO9780511810633. ISBN 978-0-511-81063-3.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Syski, R. (1992). Passage Times for Markov Chains. IOS Press. doi:10.3233/978-1-60750-950-9-i. ISBN 90-5199-060-X.

[2] Asmussen, S. R. (2003). "Markov Jump Processes". Applied Probability and Queues. Stochastic Modelling and Applied Probability. 51. pp. 39–59. doi:10.1007/0-387-21525-5_2. ISBN 978-0-387-00211-8.

[3] Trivedi, K. S.; Kulkarni, V. G. (1993). "FSPNs: Fluid stochastic Petri nets". Application and Theory of Petri Nets 1993. Lecture Notes in Computer Science. 691. p. 24. doi:10.1007/3-540-56863-8_38. ISBN 978-3-540-56863-6.

[4] Rubino, Gerardo; Sericola, Bruno (1989). "Sojourn Times in Finite Markov Processes". Journal of Applied Probability. Applied Probability Trust. 26 (4): 744–756. JSTOR 3214379.

[5] Norris, J. R. (1997). "Markov Chains". doi:10.1017/CBO9780511810633. ISBN 978-0-511-81063-3.