مسئله بازل

مسئله بازل، مسئله ای در آنالیز ریاضی در ارتباط با نظریه اعداد اول است که اولین بار در سال ۱۶۵۰ توسط پیترو منگلی مطرح شد و توسط لئوناردو اویلر در سال ۱۷۳۴ حل شد[1] و در تاریخ ۵ دسامبر ۱۷۳۵ در فرهنگستان علوم سنت پترزبورگ خوانده شد.[2]از آنجا که حل این مسئله در برابر حملات ریاضیدانان برجسته روز مقاومت کرد، برای اویلر که در آن زمان تنها بیست و هشت سال داشت، شهرتی زود هنگام بدست آورد. اویلر این مسئله را به‌طور قابل ملاحظه ای تعمیم داد، و ایده‌های او سالها بعد توسط برنهارت ریمان در سال ۱۸۵۹ در مقاله ای به نام «تعداد اعداد اول کوچکتر از یک مقدار داده شده» که در این مقاله او تابع زتای خود را تعریف کرد و خواص اساسی آنرا اثبات نمود، به کار گرفته شد. مسئله بازل بعد از او، به نام زادگاه خانوادگی اویلر و برنولی که در حمله به این مسئله ناموفق بودند، نامیده می‌شود.

مسئله بازل در مورد مجموع دقیق معکوس مربعهای اعداد طبیعی صحبت می‌کند، یعنی مجموع دقیق سری‌های نامتناهی برابر است با:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }$

.

مجموع این سری تقریباً برابر با ۱٫۶۴۴۹۳۴ می‌باشد. مسئله بازل مقدار دقیق مجموع این سری را بیان می‌کند (در فرم بسته) و همچنین به عنوان اثبات درستی این مجموع می‌باشد. اویلر مقدار دقیق مجموع را ${\displaystyle \pi }$²6 پیدا کرد و این کشف را در سال ۱۷۳۵ اعلام کرد. استدلالات او بر اساس دست کاریهایی در محاسبات بود که در آن زمان نتوانست آنها را توجیه کند، اگر چه بعدها درستی آنها ثابت شد و این مسئله در سال ۱۷۴۱ اتفاق افتاد که او توانست یک اثبات دقیق درست بیان کند.

جستارهای وابسته

• تابع زتای ریمان

منابع

1. Ayoub, Raymond (1974). "Euler and the zeta function". Amer. Math. Monthly. 81: 1067–86. doi:10.2307/2319041.
2. E41 – De summis serierum reciprocarum

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Basel problem». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۹ نوامبر۲۰۱۸.

پیوند به بیرون

• An infinite series of surprises by C. J. Sangwin
• Step by step Proof
• "Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques" (PDF). (348 kB)، English translation with notes of Euler’s paper by Lucas Willis and Thomas J. Osler
• "How Euler did it" (PDF). (265 kB)
• "The infinite series of Euler and the Bernoulli's spice up a calculus class" (PDF). Archived from the original (PDF) on 18 April 2013. Retrieved 29 November 2018. (106 kB)
• "Evaluating ζ(2)" (PDF). (184 kB)، Fourteen proofs compiled by Robin Chapman
• Visualization of Euler's factorization of the sine function