مشتق زمانی

مشتق زمانی یا مشتق نسبت به زمان (به انگلیسی: Time derivative) به مشتق یک تابع نسبت به زمان گفته می‌شود که معمولاً مفهومی از نرخ تغییر مقدار تابع دارد. متغیر زمان معمولاً با t نشان داده می‌شود.

شیوهٔ نگارش

شیوه‌های مختلفی برای نگارش مشتق زمانی وجود دارد. علاوه بر نگارش معمولی لایبنیتس

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$

شیوهٔ معمول و مختصر دیگری وجود دارد که روش نگارش نیوتن خوانده می‌شود و خصوصاً در فیزیک کاربرد دارد:

${\displaystyle {\dot {x}}}$

مشتق درجات بالاتر هم به همین ترتیب نوشته می‌شوند. مثلاً مشتق دوم نسبت به زمان بدین صورت:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

یا:

${\displaystyle {\ddot {x}}}$

نوشته می‌شود.

به‌طور کلی مشتق زمانی یک بردار، مثلاً

${\displaystyle {\vec {V}}=\left[v_{1},\ v_{2},\ v_{3},\cdots \right]\ ,}$

به‌صورت برداری تعریف می‌شود که مؤلفه‌هایش مشتق زمانی مؤلفه‌های بردار اصلی هستند. بدین صورت که:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {V}}}{dt}}=\left[{\frac {dv_{1}}{dt}},{\frac {dv_{2}}{dt}},{\frac {dv_{3}}{dt}},\cdots \right]\ }$

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Time derivative». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۴ فوریه ۲۰۱۳.