معادله کوشی-اویلر

معادله کوشی-اویلر (به انگلیسی: Cauchy-Euler equation) یا معادله اویلر-کوشی به معادله دیفرانسیل معمولی خطی همگن با ضرایب متغیر گفته می‌شود. این معادله به صورت زیر بیان می‌شود:

${\displaystyle t^{2}u''+btu'+cu=0}$

اگر جواب معادله را به صورت ${\displaystyle u=t^{m}}$ در نظر بگیریم، به معادله مشخصه زیر می‌رسیم:

${\displaystyle m(m-1)+bm+c=0}$

• اگر معادله مشخصه دارای دو ریشه حقیقی ${\displaystyle m_{1}}$ و ${\displaystyle m_{2}}$ باشد به دو جواب مستقل ${\displaystyle t^{m_{1}}}$ و ${\displaystyle t^{m_{2}}}$ منجر می‌شود. بنابراین جواب کلی معادله به صورت زیر خواهد بود:

${\displaystyle u=c_{1}t^{m_{1}}+c_{2}t^{m_{2}}}$

• اگر معادله مشخصه دو ریشهٔ برابر داشته باشد، ${\displaystyle t^{m}}$ و ${\displaystyle t^{m}lnt}$ دو جواب مستقل خواهند بود

${\displaystyle u=c_{1}t^{m}+c_{2}t^{m}lnt}$

• اگر معادله مشخصه دارای جواب حقیقی نباشد (${\displaystyle m=\alpha \pm i\beta }$)، جواب کلی به صورت زیر درمی‌آید:

‎${\displaystyle u=c_{1}t^{\alpha }cos(\beta lnt)+c_{2}t^{\alpha }sin(\beta lnt)}$‎

منابع

• J. David Logan, A First Course in Differential Equations, Springer Science+Business Media, Inc. , United States of America, 2006. ISBN 978-0-387-25963-5

جستارهای وابسته

• یادواره‌های لئونارد اویلر