چهار شتاب

در نظریه نسبیت چهار شتاب یک یک شتاب برداری در چهار بعد مکان-زمان است (مشتق دوم چهار بردار)، مفهوم چهار شتاب بیشتر در فیزیک انرژی‌های بالا مثل نابودی پاد پروتون، رزونانس ذرات شگفت و تابش‌های بار الکتریکی شتابدار کاربرد دارد.

در فیزیک کلاسیک

شتاب در فیزیک کلاسیک سه بعدی است ${\displaystyle x,y,z}$، شتاب در سه بعد مکانی به صورت زیر تعریف می‌شود، نرخ تغییر بردار سه بعدی سرعت بر حسب زمان:

${\displaystyle {\bf {a}}={\frac {d{\bf {u}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\bf {x}}}{dt^{2}}}}$

در نظریه نسبیت خاص (چارچوب مرجع لخت)

شتاب در نظریه نسبیت خاص چهار بعدی است، (سه بعد مکانی ${\displaystyle x,y,z}$ و یک بعد زمانی ${\displaystyle ct}$) و به صورت زیر تعریف می‌شود، مشتق چهار سرعت بر حسب زمان مناسب ذره:

${\displaystyle {\bf {A}}={\frac {d{\bf {U}}}{d\tau }}={\frac {d^{2}{\bf {X}}}{d\tau ^{2}}}}$

(نکته: در نظریه نسبیت برای مشتق گیری از زمان ذره یا زمان مناسب ${\displaystyle \tau }$ استفاده می‌شود.)

جزئیات معادله چهار شتاب

جزئیات معادله چهار شتاب به شرح زیر است:

• ${\displaystyle {\bf {U}}=\gamma (c,{\bf {u)}}}$ چهار سرعت
• ${\displaystyle {\bf {A}}={\frac {d{\bf {U}}}{d\tau }}=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\bf {u}}{\dot {\gamma }}+\gamma {\bf {a}})}$ چهار شتاب
• ${\displaystyle {\dot {\gamma }}=\gamma ^{3}{\frac {\bf {a\cdot u}}{c^{2}}}}$
• ${\displaystyle {\bf {A}}=\gamma (\gamma ^{3}{\frac {\bf {a\cdot u}}{c}},\gamma {\bf {a}}+\gamma ^{3}{\bf {u}}{\frac {\bf {a\cdot u}}{c^{2}}})=\gamma ^{4}({\frac {\bf {a\cdot u}}{c}},{\bf {a}}+{\frac {\bf {u\times (u\times a)}}{c^{2}}})}$

نکته ریاضی

در قسمت آخر معادله چهار شتاب از رابطه ریاضی زیر استفاده شده است:

${\displaystyle {\color {red}{\bf {a\times (b\times c)=b(a\cdot c)-c(a\cdot b)}}}}$

بدین صورت که:

• ${\displaystyle {\bf {a}}\gamma ^{-2}+{\frac {\bf {u(a\cdot u)}}{c^{2}}}={\bf {a}}-{\frac {\bf {a(u\cdot u)}}{c^{2}}}+{\frac {\bf {u(a\cdot u)}}{c^{2}}}}$
• ${\displaystyle {\frac {\bf {u(a\cdot u)-a(u\cdot u)}}{c^{2}}}={\frac {\bf {u\times (u\times a)}}{c^{2}}}}$

چهار شتاب در سرعت‌های کم

در سرعت‌های کم که عامل لورنتس تقریباً برابر یک است ${\displaystyle \lim _{\beta \ll 1}(\gamma \simeq 1)}$ مشتق گیری از عامل لورنتس دیگر مقدور نیست ${\displaystyle {\dot {\gamma }}=0}$ لذا چهار شتاب نسبیتی به صورت اتوماتیک به شتاب سه بعدی فیزیک کلاسیک تبدیل می‌شود:

${\displaystyle {\bf {A}}=(0,{\bf {a)}}}$

ضرب داخلی چهار شتاب و چهار سرعت

حاصلضرب داخلی چهار سرعت و چهار شتاب متناظر آن همواره برابر با صفر است:

${\displaystyle {\bf {A\cdot U}}=g_{\mu \nu }A^{\mu }U^{\nu }=0}$

در نسبیت عام (چارچوب مرجع غیر لخت)

چهار شتاب در نسبیت عام مشابه چهار شتاب در نسبیت خاص است با این تفاوت که در نسبیت عام چهار شتاب به چهار سرعت هم مرتبط است به علت استفاده از مشتق هموردا در نسبیت عام:

${\displaystyle A^{\mu }={\frac {DU^{\mu }}{d\tau }}={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}{\color {red}+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }}}$

گرانش نیرو نیست

وقتی چهار نیرو برابر با صفر است یعنی معادله چهار شتاب فقط تحت تاثیر گرانش قرار دارد، ورژن چهار برداری قانون دوم نیوتن عملاً به معادله ژئودزیک کاهش پیدا می کند، ذره‌ای که تحت تاثیر حرکت ژئودزیک است برای هر جزء از چهار بردار شتاب مقداری برابر با صفر دارد، این نتیجه گیری به معنای این واقعیت است که گرانش یک نیرو نیست.

در سیالات نسبیتی و شبه سیالات نجومی

چهار شتاب در سیالات نسبیتی و شبه سیالات نجومی مشابه چهار شتاب در نسبیت عام است با این تفاوت که در فیزیک سیالات نسبیتی از مشتق کل هم استفاده می‌شود و مشتق گیری به صورت مشترک کل-هموردا است[1]

چهار شتاب در معادله متریال-ژئودزیک

در معادله متریال-ژئودزیک نحوه مشتق گیری به صورت مشتق گیری کل-همورا است (هم مشتق کل و هم مشتق هموردا) و چهار شتاب سیال نسبیتی (ببینید چهار نیرو) به شکل زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle A^{\mu }={\frac {DU^{\mu }}{D\tau }}={\frac {dU^{\mu }}{D\tau }}+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }=U_{\nu }\Omega ^{\mu \nu }+{\frac {1}{\rho }}\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }}$

جستارهای وابسته

• چهار بردار
• چهار سرعت
• چهار تکانه
• چهار نیرو
• نسبیت خاص
• نسبیت عام
• هموردایی لورنتز
• نظریه نسبیت

منابع

1. SAO/NASA ADS, Covariant Formulation of Fluid Dynamics & Estakhr's Material-Geodesic Equations,APS,DFD2013, Estakhr, Ahmadreza

• Tsamparlis M. (2010). Special Relativity (online ed.) Springer Berlin Heidelberg. P.185

ISBN 978-3-642-03837-2

• Synge J.L. ;Schild A. (1949) Tensor Calculus (1978 Dover ed.) University of Toronto Press PP.149, 153 and 170

ISBN 0-486-63612-7

• Pauli W. (1921) Theory of Relativity (1981 Dover ed.). B.G.Teubner, Leipzig.p.74.

ISBN 978-0-486-64152-2