کلاف تاری

در ریاضیات، به‌خصوص در توپولوژی، یک کلاف تاری (دقت شود که اسپل تار در انگلیسی بریتانیایی fibre است در حالی که در انگلیسی آمریکایی fiber است) فضایی است که از نظر موضعی یک فضای ضربی هست، اما از لحاظ سراسری ممکن است دارای ساختار توپولوژیکی متفاوتی باشد. بخصوص، شباهت بین یک فضای ${\displaystyle \mathrm {E} }$ و یک فضای حاصلضربی ${\displaystyle B\times F}$ با استفاده از نگاشت پوشای پیوستهٔ زیر تعریف شده‌است:

${\displaystyle \pi \colon E\to B}$

یک شانه استوانه ای در شکل نشان داده شده‌است، این شانه مفهوم شهودی پشت «کلاف تاری» را نشان می‌دهد. این شانه همانند یک کلاف تاری است که فضای پایه آن یک استوانه و تارهای آن پاره خط‌ها هستند. نگاشت ${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ یک نقطه را از یک تار دلخواه به ریشه آن واقع در استوانه می‌برد.

این نگاشت در نواحی کوچکی از ${\displaystyle \mathrm {E} }$ دقیقاً شبیه تصویر متناظرش از ${\displaystyle B\times F}$ به ${\displaystyle \mathrm {E} }$ عمل می‌کند. به نگاشت ${\displaystyle \pi }$ نگاشت تصویری یا سابمرژن می‌گویند. این نگاشت بخشی از ساختار یک کلاف است. فضای ${\displaystyle \mathrm {E} }$ را فضای کل یک کلاف تاری، فضای ${\displaystyle \mathrm {B} }$ را فضای پایه و ${\displaystyle \mathrm {F} }$ را نیز فیبر گویند. در حالت بدیهی، ${\displaystyle \mathrm {E} }$ همان ${\displaystyle B\times F}$ است و نگاشت ${\displaystyle \pi }$ همان نگاشت تصویری از یک فضای ضربی به مؤلفهٔ اولش است. در این حالت به این کلاف یک کلاف بدیهی گویند. مثال‌هایی از کلاف‌های غیر بدیهی شامل نوار موبیوس و بطری کلاین به علاوه فضاهای پوششی غیر بدیهی می‌شود. کلاف‌های تاری چون کلاف مماس یک منیفلد و به‌طور کلی تر کلاف‌های برداری همچون کلاف‌های اصلی نقش مهمی را در هندسه دیفرانسیل و توپولوژی دیفرانسیل بازی می‌کنند.

نگاشت‌های بین فضاهای کل (${\displaystyle \mathrm {E} }$) کلاف‌های برداری که با نگاشت‌های تصویری «جابجا» می‌شوند را به نام نگاشت‌های کلافی می‌شناسند و این دسته از کلاف‌ها تشکیل یک رسته می‌دهند که مورفیسم‌های آن چنین نگاشت‌هایی اند. یک نگاشت کلافی از فضای پایه (که نگاشت تصویری در آن نگاشت همانی است) به ${\displaystyle \mathrm {E} }$ را مقطع ${\displaystyle \mathrm {E} }$ گویند. کلاف‌های تاری را می‌توان به طرق مختلفی به کلاف‌های خاص تبدیل کرد، رایج‌ترین این روش‌ها این است: محدودیتی بگذاریم که انتقالات بین تکه‌های موضعی بدیهی در یک گروه توپولوژی خاص به نام گروه ساختاری قرار گیرند که این گروه بر روی تار ${\displaystyle \mathrm {F} }$ عمل می‌کند.

منابع

• Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fibre Bundles, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08055-0
• Bleecker, David (1981), Gauge Theory and Variational Principles, Reading, Mass: Addison-Wesley publishing, ISBN 978-0-201-10096-9
• Ehresmann, Charles. "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable". Colloque de Topologie (Espaces fibrés), Bruxelles, 1950. Georges Thone, Liège; Masson et Cie. , Paris, 1951. pp. 29–55.
• Husemoller, Dale (1994), Fibre Bundles, Springer Verlag, ISBN 978-0-387-94087-8
• Michor, Peter W. (2008), Topics in Differential Geometry, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 93, Providence: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2003-2
• Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994], "Fibre space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Fiber Bundle». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.