اتوکوواریانس

در آمار ٬ با فرض فرایند تصادفی حقیقی${\displaystyle X(t)}$٬ اتوکوواریانس یا خودهم‌وردایی به صورت کوواریانس متغیر تصادفی با انتقال زمانی یافته‌ی همان متغیر تعریف می‌شود.اتوکوواریانس را می‌توان معیاری از میزان شباهت سیگنال با انتقال‌یافته‌ی خودش دانست. اگر میانگین فرایند ٬برابر ${\displaystyle E[X_{t}]=\mu _{t}}$ باشد آن‌گاه اتوکوواریانس می‌شود:

${\displaystyle C_{XX}(t,s)=E[(X_{t}-\mu _{t})(X_{s}-\mu _{s})]=E[X_{t}X_{s}]-\mu _{t}\mu _{s}.\,}$

که در آن ${\displaystyle E}$ عملگر امید ریاضیست.

فرایندهای ایستا

اگر فرایند ایستا باشد٬آن‌گاه برای همه‌ی مقادیر ${\displaystyle t}$ و ${\displaystyle s}$:

${\displaystyle \mu _{t}=\mu _{s}=\mu \,}$

و

${\displaystyle C_{XX}(t,s)=C_{XX}(s-t)=C_{XX}(\tau )\,}$

که در آن ${\displaystyle \tau =s-t\,}$ مقدار زمانی است که سیگنال شیفت داده‌شده‌است.در نتیجه اتوکواریانس می‌شود:

${\displaystyle C_{XX}(\tau )=E[(X(t)-\mu )(X(t+\tau )-\mu )]\,}$

${\displaystyle =E[X(t)X(t+\tau )]-\mu ^{2}\,}$

${\displaystyle =R_{XX}(\tau )-\mu ^{2},\,}$

که ٬از دیدگاه پردازش سیگنال ٬ ${\displaystyle R_{XX}}$ همان خودهمبستگی است.

ضریب خودهمبستگی

با تقسیم اتوکواریانس بر واریانس ٬ ضریب خودهمبستگی به دست می‌آید:

${\displaystyle c_{XX}(\tau )={\frac {C_{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}.\,}$[1]

جستارهای وابسته

• خودهمبستگی

منابع

1. Papoulis، Athanasios. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill.