کوواریانس

در نظریه احتمالات کواریانس یا هم‌وَردایی[1] (به انگلیسی: Covariance)، اندازه تغییرات هماهنگ دو متغیر تصادفی است. (اگر دو متغیر یکی باشند، کواریانس برابر واریانس خواهد شد). برای متغیرهای تصادفی X و Y که امید ریاضی آنها ${\displaystyle \scriptstyle E(X)=\mu \,}$ و ${\displaystyle \scriptstyle E(Y)=\nu \,}$ هستند، کواریانس به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}}=\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu ))\,}$

چنان‌که دو متغیر تصادفی مستقل باشند، کواریانس آنها صفر خواهد بود.

واژه‌شناسی

فرهنگستان زبان فارسی، وَردیدن از ریشه باستانی وَرت (وَرتیدن: ریخت باستانی فعل "گردیدن")، را بجای فعل to vary برگزیده است و از آن، مشتقات وردایی (variance)،وردش (variation)، وردا (variant)، هم‌وردا (covariant)، هم وردایی (covariannce)، ناوردا (invariant)، ناوردایی (invariance)، پادوردا (contravariance) را برساخته است.

مفهوم

بیان ریاضی مقدار همپراکنش دو تابع تصادفی: مجموع حجم زیر مربع‌های سرخ منهای مربع‌های آبی

همپراکنش، قرابتی با همبستگی دارد. یعنی اگر همپراکنش دو تابع صفر باشد، یعنی همبستگی آنها صفر است و این یعنی کلا از هم مستقل هستند. برعکس؛ بالا بودن مقدار همپراکنش چه به صورت منفی و چه به صورت مثبت، مبین آن است که این دو تابع به نوعی به هم وابسته اند. بیشترین مقدار همپراکنش زمانی است که یک تابع خطی بین آن دو تابع قابل تعریف باشد. در این صورت یک متغیر را می‌توان تابع متغیر دیگر دانست و به جای این که مقادیر آن دو را حفظ کرد، می‌توان مقادیر یکی به علاوه رابطه آنها را در نظر آورد. مثلاً اگر دسته اول جدول یک، درجه حرارت اجاق در ساعات مختلف یک روز بر حسب فارنهایت باشد و دسته دوم اعداد دیگری از این اجاق داشته باشیم و بین این دو دسته یک رابطه خطی به صورت دسته اول منهای سی و دو و کلا ضربدر هجده دهم باشد، خوب! دسته دوم همان دسته اول است منتها بر حسب سیلیسیوس است و نیازی به حفظ آن نیست!

خواص کواریانس

اگر ${\displaystyle X,Y,W,V}$ متغیرهای تصادفی با مقادیر حقیقی باشند و ${\displaystyle a,b,c,d}$ اعداد ثابت غیر تصادفی باشند، آنگاه روابط زیر در مورد کواریانس برقرار است:

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,a)=0\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,X)=\operatorname {Var} (X)\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {Cov} (Y,X)\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (aX,bY)=ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X+a,Y+b)=\operatorname {Cov} (X,Y)\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cov} (aX+bY,cW+dV)=ac\,\operatorname {Cov} (X,W)+ad\,\operatorname {Cov} (X,V)+bc\,\operatorname {Cov} (Y,W)+bd\,\operatorname {Cov} (Y,V)\,}$

می‌توانیم با استفاده از تعریف کواریانس رابطه‌ای برای محاسبهٔ آن پیدا کنیم[2]

${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} \left((X-\operatorname {E} (X))\cdot (Y-\operatorname {E} (Y))\right)=\operatorname {E} (X\cdot Y)-\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (Y)}$

اگر ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ متغیرهای تصادفی و ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ اعدادی ثابت باشند آنگاه:

${\displaystyle \sigma ^{2}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sigma ^{2}(X_{i})+2\sum _{i,j\,:\,i<j}a_{i}a_{j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i,j}{a_{i}a_{j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}}$

ناهمبستگی و استقلال

اگر کواریانس دو متغیر تصادف صفر باشد آن دو متغیر ناهمبسته نامیده می‌شوند.[3] اگر دو متغیر تصادفی ${\displaystyle X,Y}$ مستقل باشند آنگاه کواریانس آنها صفر است. این موضوع را می‌توان به این صورت نتیجه گرفت که چون ${\displaystyle \operatorname {E} (X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)}$ پس${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=0\,}$. عکس این موضوع صحیح نیست، به این معنا که ممکن است کواریانس دو متغیر تصادفی صفر باشد (${\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=0\,}$) ولی الزاماً آن دو متغیر تصادفی مستقل از هم نباشند.[2]

ماتریس کوواریانس

اگر ${\displaystyle X}$ را ${\displaystyle n\times 1}$ و ${\displaystyle Y}$ را ${\displaystyle m\times 1}$ در نظر بگیریم آنگاه

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }\right]=\operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\mathrm {T} }}$

در اینجا عضو ${\displaystyle i,j}$ ماتریس برابرِ هم وردای ${\displaystyle i}$امین عضو ${\displaystyle X}$ و ${\displaystyle j}$امین عضو ${\displaystyle Y}$ است، به زبان ریاضی ${\displaystyle {\mbox{cov}}(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )_{i,j}={\mbox{cov}}(\mathbf {X} _{i},\mathbf {Y} _{j})}$.

جستارهای وابسته

• امیدریاضی
• واریانس

منابع

1. مشتقات این واژه مصوب فرهنگستان زبان و ادب فارسی است.
2. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Covariance&oldid=437761640
3. Introduction to Probability Models, Sheldon M. Ross, Tenth Edition

• سعید رضاخواه (اول اسفند ۱۳۷۹)، آمار و احتمال کاربردی، انتشارات دانشگاه امیر کبیر، ص. ۷۷، شابک ۹۶۴-۴۶۳-۰۹۱-۲ (کتابخانه ملی: م۷۹–۲۰۶۷۴) مقدار |شابک= را بررسی کنید: invalid character (کمک) تاریخ وارد شده در |سال= را بررسی کنید (کمک)
• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Covariance». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۰ آوریل ۲۰۰۹.