آزمون شاپیرو-ویلک

آزمون شاپیرو-ویلک، یک آزمون نرمال‌بودن در آمار استنباط‌گرایانه است. ساموئل سنفورد شاپیرو و مارتین ویلک، این آزمون را در سال ۱۹۶۵ منتشر کردند.

نظریه

آزمون شاپیرو-ویلک، اصل فرض صفر را به‌کار می‌گیرد تا بررسی کند که آیا یک نمونه x₁, ... , x_n از یک جامعه دارای توزیع طبیعی ناشی می‌شود یا نه. آماره این آزمون عبارتست از:

${\displaystyle W={\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{(i)}\right)^{2} \over \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}$

که در آن

• ${\displaystyle x_{(i)}}$ (که در آن اندیس i در داخل پرانتز قرار گرفته است) iامین آماره ترتیبی است، مثلاً iامین عدد کوچک در نمونه؛
• ${\displaystyle {\overline {x}}=\left(x_{1}+\cdots +x_{n}\right)/n}$ میانگین نمونه می‌باشد؛
• ثابت‌های ${\displaystyle a_{i}}$ از رابطه زیر به دست می‌آیند[1]

${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n})={m^{\mathsf {T}}V^{-1} \over (m^{\mathsf {T}}V^{-1}V^{-1}m)^{1/2}}}$

که در آن

${\displaystyle m=(m_{1},\dots ,m_{n})^{\mathsf {T}}\,}$

و ${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{n}}$ امیدهای ریاضی متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان که از توزیع طبیعی استاندارد انتخاب شده‌اند و ${\displaystyle V}$ ماتریس کوواریانس این آماره‌های ترتیبیست. اگر ${\displaystyle W}$ کمتر از یک مرز از قبل تعیین‌شده باشد، ممکن است کاربر فرض صفر را رد کند.

منابع

• ترجمه از ویکی‌پدیا انگلیسی

1. Shapiro, S. S.; Wilk, M. B. (1965). "An analysis of variance test for normality (complete samples)". Biometrika. 52 (3–4): 591–611. doi:10.1093/biomet/52.3-4.591. JSTOR 2333709. MR 0205384. p.  593