حد (نظریه رسته‌ها)

در نظریه رسته‌ها که شاخه ای از ریاضیات است، مفهوم مجرد حد (به انگلیسی: Limit) خواص اساسی سازه های جهانی چون ضرب، عقب‌برها و حد معکوس را در خود جمع می کند. مفهوم دوگان آن یعنی هم‌حد سازه هایی چون اجتماعات مجزا، جمع‌های مستقیم، هم‌ضرب‌ها، برون‌برها و حد مستقیم را تعمیم می دهد.

همچون مفاهیم خواص جهانی و تابعگون‌های الحاقی که قویاً به هم مرتبطند، حد و هم‌حد نیز در مراتب بالای تجرید وجود دارند. به منظور فهمشان ابتدا باید مثال هایی که این مفاهیم سعی بر تعمیمشان دارند را مطالعه کرد.

تعریف

حدها و هم‌حدها در رسته ای چون ${\displaystyle C}$ به کمک نمودارها در ${\displaystyle C}$ تعریف می شوند. به طور صوری، یک نمودار به شکل ${\displaystyle J}$ در ${\displaystyle C}$ تابعگونی از ${\displaystyle J}$ به ${\displaystyle C}$ است:

${\displaystyle F\colon J\rightarrow C}$

رسته ${\displaystyle J}$ را می توان به صورت رسته اندیس و نمودار ${\displaystyle F}$ را به عنوان اندیس‌گذار اشیاء و ریخت ها در ${\displaystyle C}$ دید که الگوی اندیس‌گذاری اش را از رسته اندیس ${\displaystyle J}$ می گیرد. اغلب به مواردی علاقه‌مندیم که در آن ${\displaystyle J}$ رسته ای کوچک یا حتی متناهی باشد. یک نمودار را کوچک یا متناهی گوییم هرگاه ${\displaystyle J}$ به ترتیب کوچک یا متناهی باشد.

حد

فرض کنید ${\displaystyle F\colon J\rightarrow C}$ یک نمودار به شکل ${\displaystyle J}$ در رسته ای چون ${\displaystyle C}$ باشد. یک مخروط به ${\displaystyle F}$ شیئی چون ${\displaystyle N}$ از ${\displaystyle C}$ است به همراه خانواده ${\displaystyle \psi _{X}\colon N\rightarrow F(X)}$ از ریخت‌ها که توسط اشیاء ${\displaystyle X}$ از ${\displaystyle J}$ اندیس شده باشند، چنان که برای هر ریخت ${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$ در ${\displaystyle J}$ داشته باشیم ${\displaystyle F(f)\circ \psi _{X}=\psi _{Y}}$.

یک حد برای نمودار ${\displaystyle F\colon J\rightarrow C}$ مخروطی چون ${\displaystyle (L,\phi )}$ به ${\displaystyle F}$ است چنان که برای هر مخروط ${\displaystyle (N,\psi )}$ به ${\displaystyle F}$ وجود داشته باشد ریخت یکتایی چون ${\displaystyle u\colon N\rightarrow L}$ چنان که برای تمام ${\displaystyle X}$ در ${\displaystyle J}$ داشته باشیم ${\displaystyle \phi _{X}\circ u=\psi _{X}}$:

یادداشت‌ها

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Limit (Category Theory)». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۷ سپتامبر ۲۰۱۹.

منابع

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstract and Concrete Categories (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
• Borceux, Francis (1994). "Limits". Handbook of categorical algebra. Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. Volume 1. Cambridge University Press. ISBN 0-521-44178-1.