قضیه آپولونیوس

در هندسه مسطحه، قضیه آپولونیوس قضیه ای است که طول میانه ی یک مثلث را به طول اضلاع آن مرتبط می سازد. این قضیه بیان می دارد که "جمع مربع دو ضلع از هر مثلث، دو برابر جمع مربع نصف ضلع سوم و مربع میانه وارد بر ضلع سوم است".

ناحیه های سبز/آبی = ناحیه قرمز

قضیه قیثاغورث به عنوان حالت خاصی از این قضیه:
ناحیه سبز = ناحیه قرمز

به طور خاص و دقیق تر، اگر مثلث دلخواه ${\displaystyle ABC}$ داده شده باشد، به گونه ای که ${\displaystyle AD}$ میانه ی وارد بر ${\displaystyle BC}$ باشد، آنگاه طبق این قضیه خواهیم داشت:

${\displaystyle |AB|^{2}+|AC|^{2}=2(|AD|^{2}+|BD|^{2}).}$

این قضیه حالت خاصی از قضیه استوارت است. برای یک مثلث متساوی الساقین با |AB| = |AC|، میانه ${\displaystyle AD}$ عمود بر ${\displaystyle BC}$ است و این قضیه در این حالت به قضیه فیثاغورث برای مثلث ${\displaystyle ADB}$ (یا مثلث ${\displaystyle ADC}$) تقلیل پیدا می کند. ازین حقیقت که قطر های یک متوازی الاضلاع همدیگر را به طور مساوی قطع می کنند بهره گرفته و نشان داده می شود که قضیه آپولونیوس با قانون متوازی الاضلاع معادل است.

این قضیه به افتخار آپولونیوس از شهر پرگا، به نام قضیه آپولونیوس نام گذاری شده است.

اثبات

اثبات قضیه آپولونیوس

این قضیه را می توان به صورت حالت خاصی از قضیه استوارت اثبات کرد، یا می توان آن را به کمک بردار ها (قانون متوازی الاضلاع را ببینید) اثبات نمود. در ادامه، اثبات مستقلی به کمک قانون کسینوس ها آورده می شود.[1]

فرض کنید مثلث دلخواهی داریم با اضلاع ${\displaystyle a,b,c}$ که طول میانه وارد بر ضلع ${\displaystyle a}$ آن ${\displaystyle h}$ باشد. فرض کنید ${\displaystyle m}$ طول پاره خطی از ${\displaystyle a}$ باشد که توسط میانه وارد بر آن ایجاد شده است، بنابر این ${\displaystyle m}$ نصف ${\displaystyle a}$ خواهد بود. فرض کنید زوایای تشکیل شده بین ${\displaystyle a}$ و ${\displaystyle d}$ که شامل ${\displaystyle b}$ و ${\displaystyle c}$ هستند به ترتیب ${\displaystyle \theta }$ و ${\displaystyle \theta '}$ باشند. آنگاه ${\displaystyle \theta '}$ مکمل ${\displaystyle \theta }$ بوده و ${\displaystyle cos(\theta ')=-cos(\theta )}$.

حال طبق قانون کسینوس ها برای ${\displaystyle \theta }$ و ${\displaystyle \theta '}$ داریم:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta .\,\end{aligned}}}$

که با اضافه کردن اولین و سومین معادله می رسیم به:

${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})}$

که همان حکم مطلوب است.

منابع

1. Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. p. 20.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Apollonius's Theorem». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.