قضیه لوروت

قضیه لوروت (به انگلیسی: Lüroth's theorem) قضیه ای در نظریه میدان ها است. این قضیه به نام ریاضیدان آلمانی یاکوب لوروت که نخستین بار آن آن را در سال ۱۸۷۶ به اثبات رسانده است نامگذاری شده است.

بیان قضیه

فرض کنید ${\displaystyle K}$ یک میدان و ${\displaystyle X}$ یک متغیر دلخواه و ${\displaystyle L}$ میدانی در میان ${\displaystyle K}$ و ${\displaystyle K(X)}$ باشد. به زبان دیگر : ${\displaystyle K\subseteq L\subseteq K(X)}$. آنگاه یک تابع گویای ${\displaystyle f(X)\in K(X)}$ وجود دارد که ${\displaystyle L}$ را روی ${\displaystyle K}$ تولید میکند یا به زبان دیگر : ${\displaystyle L=K(f(X))}$. این قضیه به دیگر سخن میگوید که هر گسترش میدانی ${\displaystyle K}$ که زیر مجموعه ${\displaystyle K(X)}$ باشد یک گسترش ساده است.

برای اثبات این قضیه روش های بسیاری وجود دارد از جمله روش هندسی که به وسیله نظریه خم های گویا این قضیه را اثبات میکنند. ولی روش های جبری هم هستند که در بیشتر آنها از لم گاوس برای اثبات بهره میبرند.

منابع

• Cohn, P. M. (1991), Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Chapman Hall/CRC Mathematics Series 4, CRC Press, p. 148,
• Shafarevich, Igor R. (1974) [1972], Basic Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag