مکمل متعامد

در جبر خطی، و آنالیز تابعی، مکمل متعامد (Orthogonal complement) مفاهیم مربوط به تعامد دو خط، دو صفحه، یا یک خط و یک صفحه بر یکدیکر را از فضای اقلیدسی اقتباس کرده و آنها را به تعامد زیرفضاهای مربوط به فضاهای ضرب داخلی گسترش و امتداد می‌دهد.

تعریف

مکمل متعامد ${\displaystyle W^{\bot }\!}$ یک زیرفضای ${\displaystyle W\!}$ از یک فضای ضرب داخلی ${\displaystyle V\!}$ عبارت است از مجموعهٔ تمامی بردارهای موجود در ${\displaystyle V\!}$ که بر هرکدام از بردارهای ${\displaystyle W\!}$ عمود باشند. یعنی:

${\displaystyle W^{\bot }=\left\{x\in V|\langle x,y\rangle =0{\mbox{ for all }}y\in W\right\}\!}$

مثال:

چنانچه ${\displaystyle V\!}$ را فضای سه‌بعدی xyz و ${\displaystyle W\!}$ را زیرفضای xy آن در نظر بگیریم، محور z مکمل متعامد صفحه xy یعنی ${\displaystyle W^{\bot }\!}$ خواهد بود، چرا که همهٔ بردارهای موجود روی محور z بر هرکدام از بردارهای درون صفحهٔ xy عمود است.

منابع

• Riesz, F. and Sz.-Nagy, B.: Functional Analysis, Dover Publications, 1990. ISBN 0-486-66289-6