صفحه

در ریاضیات به یک سطح هموار دوبعدی، صفحه یا تخته می‌گویند. گویی یک صفحه نمایش دو بعدی از یک نقطه (صفر بُعد)، یک خط (یک بعد) و یک فضا (سه بعد) است.

هندسه
تصویر کره بر روی صفحه
خطوط کلی تاریخ هندسه
شاخه‌ها اقلیدسی نااقلیدسی بیضوی کروی هذلولوی غیر-ارشمیدسی تصویری آفین سنتتیک تحلیلی جبری حسابی سیاله‌ای دیفرانسیل ریمانی سیمپلکتیک گسسته مختلط متناهی گسسته دیجیتال محدب محاسباتی فراکتال وقوع
مفاهیم بعد ساخت با خط‌کش و پرگار زاویه منحنی قطر تعامد در جبر خطی (تعامد هندسی) توازی رأس هم‌نهشتی تشابه تقارن
صفر بعدی نقطه
فضای یک بعدی خط مستقیم پاره‌خط خط مستقیم طول
فضای دوبعدی صفحه مساحت چندضلعی مثلث ارتفاع (مثلث) وتر قضیه فیثاغورس متوازی‌الاضلاع مربع مستطیل لوزی Rhomboid چهارضلعی ذوزنقه کایت دایره قطر محیط منحنی مساحت دایره
فضای سه‌بعدی حجم مکعب مکعب مستطیل استوانه هرم (هندسه) کره (هندسه)
چهاربعدی / سایر ابعاد تسرکت ابرکره
فهرست هندسه‌دانان
براساس نام آیدا آریابهاتا احمس ابن هیثم آپولونیوس ارشمیدس مایکل عطیه Baudhayana یانوش بویایی برهماگوپتا الی کارتان هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر رنه دکارت اقلیدس لئونارد اویلر کارل فریدریش گاوس میخائیل لئونیوویچ گروموف دیوید هیلبرت Jyeṣṭhadeva کاتیایانا خیام فلیکس کلاین نیکلای لوباچفسکی Manava هرمان مینکوفسکی Minggatu بلز پاسکال فیثاغورس Parameshvara آنری پوانکاره برنهارت ریمان Sakabe ابوسعید سجزی خواجه نصیرالدین طوسی اسوالد وبلن Virasena Yang Hui al-Yasamin چانگ هنگ فهرست هندسه‌دانان
براساس دوره گاه‌شماری دوران مشترک احمس Baudhayana Manava فیثاغورس اقلیدس ارشمیدس آپولونیوس 1–1400s چانگ هنگ کاتیایانا آریابهاتا برهماگوپتا Virasena ابن هیثم ابوسعید سجزی خیام al-Yasamin خواجه نصیرالدین طوسی Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva رنه دکارت بلز پاسکال Minggatu لئونارد اویلر Sakabe Aida 1700s–1900s کارل فریدریش گاوس نیکلای لوباچفسکی یانوش بویایی برنهارت ریمان فلیکس کلاین آنری پوانکاره دیوید هیلبرت هرمان مینکوفسکی الی کارتان اسوالد وبلن هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر روزگار کنونی مایکل عطیه میخائیل لئونیوویچ گروموف

معادله صفحه در فضا

هر چند ضلعی در یک صفحه، در صفحه‌ای با امتداد نامتناهی قرار دارد. معادله عمومی یک صفحه به صورت روبرو است: Ax+By+Cz+d=۰، که در آن (x,y،z) نقطه‌ای دلخواه از صفحه و ضرایب A,B،C,D(به نام پارامترهای صفحه) ثابت‌های تعریف‌کننده ویژگی‌های فضایی صفحه‌اند. مقادیر A,B،C,D را می‌توان با حل یه معادله سه مجهولی به دست آورد. این معادلات باید از مقادیر مختصات برای سه نقطه غیر هم راستا در صفحهxyتشکیل شده باشد. برای این منظور می‌توانیم سه راس چند ضلعی-محدب متوالی ${\displaystyle \left(x_{1},y_{1},z_{1}\right),\left(x_{2},y_{2},z_{2}\right),\left(x_{3},y_{3},z_{3}\right)}$را در خلاف جهت چرخش عقربه‌های ساعت انتخاب و معادلات توأم خطی زیر را برای نسبت‌های A\D,B\D,C\D حل کنیم.

${\displaystyle \left({\frac {A}{D}}\right)x_{k}+\left({\frac {B}{D}}\right)y_{k}+\left({\frac {C}{D}}\right)z_{k}=-1}$

جواب این مجموعه معادلات را می‌توان با استفاده از قاعده کرامر به صورت دترمینانی زیر به دست آورد:

${\displaystyle A=\left|{\begin{matrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{matrix}}\right|}$ ${\displaystyle B=\left|{\begin{matrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{matrix}}\right|}$ ${\displaystyle C=\left|{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{matrix}}\right|}$ ${\displaystyle D=\left|{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{matrix}}\right|}$

بابسط دترمینان‌ها، محاسبات لازم برای ضرایب صفحه را می‌توان به صورت زیر نوشت:

${\displaystyle A=y_{1}\left(z_{2}-z_{3}\right)+y_{2}\left(z_{3}-z_{1}\right)+y_{3}\left(z_{1}-z_{2}\right)}$

${\displaystyle B=z_{1}\left(x_{2}-x_{3}\right)+z_{2}\left(x_{3}-x_{1}\right)+z_{3}\left(x_{1}-x_{2}\right)}$

${\displaystyle C=x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)+x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)+x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)}$

${\displaystyle D=-x_{1}\left(y_{2}z_{3}-y_{3}z_{2}\right)-x_{2}\left(y_{3}z_{1}-y_{1}z_{3}\right)+x_{3}\left(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1}\right)}$

دو صفحه متقاطع در فضای سه‌بعدی

منابع

• ویکی‌پدیای انگلیسی
• کتاب گرافیک رایانه‌ای جلد اول، دانلد هیرن، ام. پائولین بیکر، وارن کاریترز، ترجمه دکتر بهروز قلی‌زاده، مؤسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف